Правоъгълен трапец

[voikovstef1]

В правоъгълен трапец единият от ъглите е с големина [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] .Трапецът е описан около окръжност с радиус R. Дължината на по-малката основа на трапеца е? Отговорът е даден изразен чрез R. Отговор: R(3-[tex]\sqrt{3}[/tex])

[Nathi123]

Нека АВ е успоредна на CD и [tex]\angle DAB = 90 ^\circ[/tex],а [tex]\angle ABC = \frac{\pi}{6}[/tex], M е допирната точка на вписаната окръжност с CD, а N - допирната точка на вп. окръжност с АВ.[tex]\Rightarrow[/tex] MN = AD = 2R ( защо?) . Построяваме СН [tex]\bot AB[/tex]. [tex]\Delta CHB[/tex] CH = 2R, [tex]\frac{HB}{CH} = cotg \frac{\pi}{6}[/tex]=[tex]\sqrt{3}\Rightarrow[/tex] HB=2R[tex]\sqrt{3}[/tex], от същия триъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CH}{BC}=sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BC = 4R. Да означим МС = NH = x ,тогава DC = R+x, AB = R+x+HB. От ABCD - описан около окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] AD+BC=AB+CD т.е. 2R+BC = 2R+2x+2R[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BC = 2x + 2R[tex]\sqrt{3}[/tex]. Но BC = 4R[tex]\Rightarrow[/tex] 4R=2R[tex]\sqrt{3}[/tex]+2x. Така x=2R - R[tex]\sqrt{3}[/tex] и CD = R+2R - R[tex]\sqrt{3}=3R-R\sqrt{3}=R(3-\sqrt{3})[/tex]