Успоредник и триъгълник

[butterfly]

1.Точките М(-5,-2) , N (3.-3) , P (4,7) са последователни върхове на успоредника MNPQ. Височината през върха Q към страната MN има уравнение:
а) х+у-4=0; б) х-2у+2=0; в) 2х+ у=0; г) 8х-у+40=0.


2.Точките A (-3, a ); B(5,-1); C(3,13) са върхове на триъгълник. Стойностите на параметъра а, за които ъгълът между страната АВ и медианата през върха А е равен на 45 градуса, са:
а) -1 и 5; б) -2 и 4; в) 3 и 5; г) -1 и 4.

[Knowledge Greedy]

[tex]\vec{MN}(8;-1)[/tex]
Един колинеарен на правата [tex]h_Q[/tex] вектор е [tex]\vec{h_Q}(1;8)[/tex].
Следователно отговор 1. г).
_________
Средата [tex]M[/tex] на [tex]BC[/tex] e [tex]M(4;6)[/tex]
[tex]\vec{AM}(7;6-a)[/tex]
[tex]\vec{AB}(8;-1-a)[/tex]
Ако [tex]\varphi[/tex] е въпросният ъгъл, то [tex]cos \varphi = \frac{\vec{AB}\vec{AM}}{\left | AB \right |\left | AM \right |}[/tex]
Трябва [tex]cos \varphi =\frac{56+(a+1)(a-6)}{\sqrt{49+(6-a)^2}\sqrt{64+(1+a)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], което очевидно има реални решения [tex]a=5[/tex] и [tex]a=-1[/tex].
Отговор: 2.а)