Вписан четириъгълник

[Topcho28]

Здравейте!
От известно време се мъча с една задачка... тя може и да е много проста, но нещо не мога да си представя дори чертежа как ще е, та да не говорим за решението Ще съм благодарна, ако някой ми помогне!

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност, а P и Q са ортоцентрове на триъгълниците ABD и ACD. Да се докаже, че PQ е успоредна и равна на BC.

[monika_at]

PQ_BC.png (43.71 KiB) Прегледано 394 пъти

Тук се ползва едно хубаво свойство на ортоцентъра. Разстоянието от връх на триъгълник до ортоцентъра му е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до срещулежащата на този връх страна.
Опитай се да го докажеш (ако не успееш, ще ти помогна).
Разглеждаме [tex]\Delta ACD=>CQ=2OF[/tex]. Аналогично, от [tex]\Delta ABD=>BP=2OF[/tex]. (двата триъгълника са вписани в една и съща окръжност и имат обща страна [tex]AD[/tex]=>[tex]CQ=BP[/tex], но [tex]CQ\bot AD; BP\bot AD=>CQ||BP[/tex]
=>[tex]PBCQ-[/tex]-успоредник=>[tex]PQ||AB, PQ=AB[/tex]

[Topcho28]

Ее, супер!!
Между другото чертежа ми светна доста неща и всичко ми се изясни.

Адски много благодаря, за който... явно е вярно, че чертежа е половината задача )))

merci-love-beaucoup-132774597359.png (13.55 KiB) Прегледано 389 пъти

[monika_at]

Успех, момиче