Максималната стойност на лицето на вписан четириъгълник

[christotaku]

В задачата е даден вписан в окръжност четириъгълник ABCD, AB = 5, BC = 4, [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex]. От тези стойности лесно намираме диагоналът AC на четириъгълника чрез косинусова теорема за триъгълника ABC и излиза, че [tex]AC = \sqrt{21}[/tex], чрез синусова теорема отново за триъгълника ABC се намира и радиуса R на описаната окръжност -> [tex]R = \sqrt{7}[/tex].

В крайна сметка обаче, се пита за максималната стойност на лицето на четириъгълника ABCD.

[inveidar]

Лицето ще бъде максимално, когато лицето на триъгълника ACD е максимално. Лесно се доказва, че това е когато D е край на диаметъра, перпендикулярен на АС.

[christotaku]

Лицето ще бъде максимално, когато лицето на триъгълника ACD е максимално. Лесно се доказва, че това е когато D е край на диаметъра, перпендикулярен на АС.

и как се доказва

P.S. възможно ли е да се каже просто, че лицето на триъгълник ACD e максимално, когато AC=CD

[inveidar]

Трябва да се докаже. И е максимално при AD=CD. Например така:

ffff.png (20.35 KiB) Прегледано 330 пъти