Квадрат - вътрешни точки

[freetimeforme]

На страните BC и CD на квадрат ABCD са взети вътрешни точки H и N така, че [tex]\angle AHB[/tex] е равен на [tex]\angle AHN[/tex]
Да се намери [tex]\angle HAN=?[/tex]

[Davids]

14877785_1078761082242981_581303048_n.jpg (16.99 KiB) Прегледано 1216 пъти

Както съм показал на чертежа, построяваме перпендикуляра [tex]AP[/tex] от [tex]A[/tex] към [tex]HN[/tex]. Ползвайки свойството на ъглополовящата, че разстоянията между коя да е точка от нея и лъчите на ъгъла са равни, достигаме до факта, че [tex]AP = a[/tex] (страната на квадрата). Но тъй като [tex]AP = AD; <APN = <ADN = 90^{\circ}; AN -[/tex] обща, то [tex]\Delta APN \cong \Delta ADN[/tex]. Аналогично доказваме и еднаквостта на [tex]\Delta APH \cong \Delta ABH[/tex]. Оттам получаваме двете двойки равни ъгли от чертежа и тъй като [tex]2(\alpha + \beta) = 90^{\circ} \Rightarrow \alpha + \beta = \angle HAN = 45^{\circ}[/tex]

[Гост]

Как доказвате еднаквостта на триъгълниците АDN и APN, при условие че имате две страни и ъгъл, НО той не е ъгълът заключен между двете страни, а срещуположен за едната?

[ptj]

Използва се IV-ти признак за еднаквост на триъгълници- "две страни и ъгъл срещу по-голямата от тяx".

Понеже използвания за еднаквост ъгъл е 90[tex]^\circ[/tex], то в триъгълника ([tex]\triangle APN[/tex] или [tex]\triangle ADN[/tex]) няма друг с по-голяма мярка и сл. лежащата срещу него страна е най-голяма, т.е. имаме изпълнени условия за прилагане на IV-ти признак.

П.П. Използва се също, че в триъгълника срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна (и обратното).