задача за средна отсечка в трапец

[wolfie16]

Даден е равнобедрен трапец АВСD с основи АВ и СD.Ъглополовящите на ъглите при АD се пресичат в точка М, а ъглополовящите на ъглите при ВС – в точка К. Да се намери сборът на основите на трапеца, ако ВС = 10см и МК = 4см.
отг. 28 или 12 см

[Davids]

Пресечните точки на ъглополовящите съответно със срещулежащата основа ще означавам с [tex]AA_1, BB_1[/tex] и т.н.
Поради свойството на ъглополовящите в равнобедрения трапец да образуват равнобедрени триъгълници, знаем, че [tex]AD_1A_1D[/tex] и [tex]BC_1B_1C[/tex] са ромбове със страна 10см. Надявам се да схвана какво имам предвид. Имайки това предвид, виждаме лесно, че [tex]MK[/tex] всъщност свързва пресечните точки на диагоналите в двата ромба, а в ромба диагоналите се разполовяват перпендикулярно.

I. случай: Ако точките по горната основа (малката) са подредени в следния ред: [tex]D, B_1, A_1, C_1[/tex]; а тези по долната основа в следния: [tex]A, D_1, C_1, B[/tex].
То тогава ще имаме трапец [tex]DCC_1D_1[/tex], в който [tex]MK[/tex] е средна отсечка (горе казахме защо). Следователно [tex]MK = 4 = \frac{D_1C_1 + DC}{2} \Rightarrow D_1C_1 + DC = 8[/tex].
И всъщност сборът от двете основи е равен на: [tex]AD_1 + D_1C_1 + C_1B + DC = 2.10 + 8 = 28cm[/tex]
С което завършваме този случай.

II. случай: Ако подредбата на точките по горната основа е: [tex]B_1, D, C, A_1[/tex]; а по долната - [tex]A, C_1, D_1, B[/tex].
То тогава построяваме [tex]KP[/tex] - средна отсечка в [tex]\Delta C_1CB[/tex], която всъщност свързва средите на [tex]CC_1[/tex] и [tex]BC[/tex]. Понеже е средна отсечка в [tex]\Delta C_1CB[/tex], то [tex]KP = \frac{C_1B}{2} = 10:2 = 5cm[/tex].
Аналогично построяваме и [tex]MN[/tex] - средна отсечка в [tex]\Delta C_1DA[/tex], респективно равна на 5cm по същата причина като предната, само че тази свързва средите на [tex]DD_1[/tex] и [tex]AD[/tex].
Така всъщност, чрез построяване на [tex]NM, MK, KP[/tex] получихме средната отсечка в трапеца - [tex]NP = NM + MK + KP = 5 + 4 + 5 = 14[/tex]
И получаваме [tex]a + b = 2.NP = 2.14 = 28cm[/tex]

III. случай: Ако горе пресечните точки стават в реда като при втория случай, само че долу са в следния ред: [tex]C_1, A, B, D_1[/tex]. Тоест, това е вариантът с най-малки основи (най-гъсто сбити - така, ъглополовящите при двете основи да се пресичат с другата във външния за нея точки).
То тогава пак получаваме трапец със средна отсечка [tex]NP = 14cm[/tex] по аналогичен път като при предния вариант, само че, както виждаш, в този случай основите на този трапец са равни на [tex]20 - b[/tex] и [tex]20 - a[/tex].
Следователно:
[tex]20 - b + 20 - a = 2.14[/tex]
[tex]40 - (a+b) = 28[/tex]
[tex]a + b = 40 - 28 = 12cm[/tex]

Реално това, което направихме, е да разгледаме три случая с различно разпределение на пресечните точки на ъглополовящите със съответната основа. Започнахме от най-широкия възможен вид на трапеца, в който и четирите ъглополовящи пресичат срещулежащата основа във вътрешни за нея точки, без да се пресичат с ъглополовяща от същата основа. След това разгледахме случая, в който се пресичат само горе ([tex]AA_1xBB_1[/tex]); случай с външни пресечни точки при горната основа; случай с външни пресечни точки за двете основи. Както виждаш, това не са всички възможни варианти, но е достатъчно да изведем заключението, че по-малкият сбор се получава, когато и при двете основи пресечните точки са външни. Много дълго стана, надявам се да се оправиш с чертането...