Решение чрез вектори?

[Sweetbubble]

т. М лежи на АB, така че АМ:AB=1:5
т. N лежи на АС, така че AN:AC=1:6

Докажете че: точките D M N лежат на една права.
Намерете: DN:MN=?

[Добромир Глухаров]

Мисля, че има пропуск в условието - какъв вид четириъгълник е ABCD?

[Sweetbubble]

да, благодаря. Успоредник

[Добромир Глухаров]

За удобство при писането означаваме $\vec{AB}=\vec{a};\vec{AD}=\vec{b}$

$\vec{AM}=\frac{\vec{a}}{5}$

$\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\Rightarrow \vec{AN}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{6}$

$\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{6}-\frac{\vec{a}}{5}=\frac{\vec{b}}{6}-\frac{\vec{a}}{30}$

$\vec{DN}=\vec{AN}-\vec{AD}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{6}-\vec{b}=\frac{\vec{a}}{6}-\frac{5\vec{b}}{6}$

Забелязваме, че е изпълнено $\vec{DN}=-5\vec{MN}\ (\vec{DN}\ и\ \vec{MN}\ са\ колинеарни\ и\ противопосочни)\Rightarrow D,M,N\ лежат\ на\ една\ права$

$\frac{DN}{MN}=\frac{|\vec{DN}|}{|\vec{MN}|}=5$