Точките M и N са среди на бедрата на трапеца с лице S

[shener.hadjimehmed]

Точките M и N са среди на бедрата на трапеца с лице S. Точките P и Q са върху основата AB и PQNM е успоредник. Да се намери лицето на успоредника.

[Davids]

Спускаме $DK || MP (K \in AB), CL || NQ (N \in AB)$.
Понеже М и N са среди, то MP и CL са средни отсечки, то $\Delta APM \approx \Delta AKD; k = \frac{1}{2}$. Аналогично и за другата страна на трапеца. От там извеждаме, че височината на малките триъгълници е половината от височината на големите (която съвпада с тази на трапеца).
Също от средните отсечки получаваме и че $AP = PK = y; LQ = QB = x$.
Основите на трапеца обозначаваме стандартно. Тогава за $KL$ имаме:
$PQ = b + \frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2}$
С изразената зависимост на височините изразяваме лицето на успоредника:
$S_{трапец} = \frac{a+b}{2}.\frac{1}{2}h = \frac{1}{2}S$

[shener.hadjimehmed]

Малко помощ за още една задача. В равнобедрения трапец ABCD диагоналът BD е перпендикулярен на бедрото AD, голямата основа AB има дължина a и CD=2BC. Да се намери дължината на основата CD.

[Knowledge Greedy]

Малката основа [tex]CD=(\sqrt{3}-1)a[/tex]

Обърни внимание, че:
1.) Имаш правоъгълен триъгълник [tex]\Delta ABD[/tex] (Значи използваш питагорова теорема за диагонала [tex]BD[/tex]);
2.) Триъгълник [tex]\Delta BCD[/tex], в който участва споменатия диагонал [tex]BD[/tex]) - тук трябва да се приложи косинусова теорема, като не забравяме, че [tex]CD=2BC[/tex];
3.) [tex]cos\angle BCD =-cos\angle BAD[/tex] - (Сборът им е [tex]180^\circ[/tex]) който намираме с определението за косинус в правоъгълния [tex]\Delta AED[/tex] - тук [tex]DE[/tex] е височината на трапеца (но по-важното е отсечката [tex]AE= \frac{AB-CD}{2}[/tex], защото [tex]cos\angle EAD=\frac{AE}{AD}.[/tex]

Един равнобедрен трапец.png (4.02 KiB) Прегледано 482 пъти