"Разполовен" трапец

[S.B.]

В трапеца ABCD основите са AB = a и CD = b.Да се определи дължината на отсечката от права успоредна на основите,заключена между бедрата на трапеца,такава,че да разделя лицето на трапеца на две равни части.
Отг. x = [tex]\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}[/tex]

[amsara]

чертеж.jpg (134.59 KiB) Прегледано 888 пъти

Пак на лист

[ptj]

За какво е листа, като може и без чертеж.

Ако продължим двете бедра до пресичането им ще получим два подобни триъгълника (малък и голям), чиито лица се отнасят като [tex]a^2:b^2[/tex].
Тогава лицето на трапеца къm лицето на малкия триъгълник ще се отнасят като [tex](b^2-a^2):a^2[/tex].

Лицето на малкия триъгълник към лицето на подобния му (с основа отсечката с дълина x, деляща трапеца на два равнолицеви четириъгълника) ще е [tex]x^2:a^2[/tex].
Съответно лицето на (горния четириъгълник, с лице половината от това на трапеца ) към малкия триъгълник ще е [tex](x^2-a^2):a^2[/tex].

Съгласно условието на задачата [tex]\frac{b^2-a^2}{2a^2}=\frac{x^2-a^2}{a^2}\Leftrightarrow a^2+b^2=2x^2 \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}}[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

За неразбралите:
[tex]AD\cap BC=\{т.O\}[/tex]

[tex]S_{AOB}:S_{DOC}=a^2:b^2 \Rightarrow S_{ABCD}:S_{AOB}=(b^2-a^2):a^2[/tex]

[tex]S_{AOB}:S_{POQ}=a^2:PQ^2 \Rightarrow S_{PQCD}:S_{AOB}=(PQ^2-a^2):a^2[/tex]

[tex]S_{ABCD}=2.S_{PQCD}\Rightarrow \frac{b^2-a^2}{PQ^2-a^2}=2\Rightarrow PQ=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]

[amsara]

Ех, ptj, все си наопаки. Миналия път на пуснатата от теб задача не сложих чертеж и обясних накратко, а ти ме подкани да го напиша разбираемо. Сега пък що имало чертеж? Пояснението ми за листа беше не към трудността на задачата, а че малко ме мързи (загубила съм тренинг) да набирам и както съм си я решила грозничко на листа, така директно съм я постнала тук. Един вид извинение към останалите за непрегледността.

[ptj]

Шегувах се, браво за решението.

П.П. Караш ме да се съмнявам в способностите ти : таланта винаги е обратно пропроционален на мързела.

[amsara]

Еее, мързел за набиране не е равен непременно на мързел за решаване.

[S.B.]

И Гаус е бил талантлив,но и достатъчно мързелив за да открие аритметичната прогресия в детска възраст!Аз благодаря за решенията и на двамата! Моето решение е близко до това на amsara,а решението на ptj е наистина "по-мързеливото " решение.Още веднъж благодаря за вниманието и на двамата!

[Петър Евгениев]

Много ми хареса задачката и решението на лист. Колкото и лесно или трудно да е!