Интересна задача с трапец

[Ивана К.]

Даден е равнобедрен трапец ABCD със основи AB = 24см и CD = 8 см . Да се намери стойността на тангенса на ъгъл DAC , ако височината на трапеца CE = 6 см .
имам чувството че трябва да се направи допълнително построение пробвах не стана .
Затова намерих ъгъл ADC и оттам DAC и използвах половинка ъгли щото за друго не се сетих. моля помогнете ми

[Davids]

Trapec.png (22.8 KiB) Прегледано 628 пъти

1) по питагорова теорема намираме бедрото $AD = BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
2) по питагорова теорема намираме и диагонала $BD = \sqrt{BH^2 + DH^2} = 2\sqrt{73}$
3) по синусова теорема намираме $sin\alpha = \frac{8sin\beta}{10} = \frac{4}{5}.\frac{DH}{BD} = \frac{12}{5\sqrt{73}}$
4) намираме $cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{144}{25.73}} = \frac{41}{5\sqrt{73}}$
5) окончателно по определение за тангенс намираме $tg\alpha = \frac{12}{41}$

[Евва]

Нека DH,СЕ и АР са височини в равнобедрения трапец ABCD.
Ивана правилно е ''усетила'' ,че задачата ще се реши по-лесно,ако се направи допълнително построение.
Досещаме се да построим височината на трапеца АР=6 см.; Нека [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\alpha[/tex];[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\beta[/tex];[tex]\angle[/tex]DAP=[tex]\gamma[/tex]
tg([tex]\angle[/tex]DAC)=tg[tex]\alpha[/tex]=?

tg[tex]\alpha[/tex]=tg[90[tex]^\circ[/tex]-([tex]\beta[/tex]+[tex]\gamma[/tex])]=cotg([tex]\beta[/tex]+[tex]\gamma[/tex])=

[tex]\frac{cotg\beta.cotg\gamma-1}{cotg\gamma+cotg\beta}[/tex]=[tex]\frac{\frac{16}{6}.\frac{6}{8}-1}{\frac{6}{8}+\frac{16}{6}}[/tex]=...=[tex]\frac{12}{41}[/tex]