Интересна задача за успоредник

[eloquent90]

Върхът D на успоредника ABCD е съединен с т. L (L [tex]\in[/tex] BC). Отсечката DL пресича диагонала АС в т. М. Лицето не CLM е 9, а лицето на CDM e 15. Намерете лицето на ABCD.

[Knowledge Greedy]

Да си спомним с благодарност за добрия стар Архимед.

Поради общата височина [tex]h_c[/tex] на триъгълниците с общ връх [tex]C[/tex] към основите [tex]DM[/tex] и [tex]ML[/tex] върху обща права [tex]DL[/tex],
следва че [tex]DM:ML=15:9[/tex] (височината се съкращава).

Лостът на Архимед.png (16.02 KiB) Прегледано 457 пъти

Да разгледаме (СМТ) системата от материални точки [tex]\left \{ L,D, M \right \}[/tex], в които са съсредоточени маси (- в скобите - след имената на точките.):
[tex]D(9) , L(15)[/tex]. При това приемаме, че [tex]M(24)[/tex] е център на тежестта на тази СМТ.

Лостът на Архимед 2.png (15.97 KiB) Прегледано 457 пъти

Средата [tex]O[/tex] на диагонала ни подсказва да включим в разсъжденията и нея - като център на масите на СМТ [tex]\left \{ D, O, B \right \}[/tex]
Това ще е така при [tex]D(9) , B(9)[/tex] и - естествено [tex]O(18)[/tex].

Оказва се, че всичко построено дотук се дължи на СМТ [tex]\left \{ B, C, D \right \}[/tex],
като разгледаните по-горе подсистеми се вписват точно в последната - при условие, че
[tex]B(9) , D(9)[/tex] и [tex]C(6)[/tex]

Но СМТ [tex]\left \{ B , C, L\right \}[/tex] с маси [tex]B(9) , L(15)[/tex] и [tex]C(6)[/tex] означава, че [tex]BL:CL=6:9[/tex]
Последното пък означава, че
[tex]S_{\triangle BLD}:S_{\triangle CLD}=6:9[/tex] - съображенията са както в началото (само че обърнати )

Архимед 3 или смятане с точки.png (16.2 KiB) Прегледано 457 пъти

Да включим сега абсолютните лица
[tex]S_{\triangle CLD}=S_{\triangle MLC}+S_{\triangle DMC}=15+9=24[/tex],
тогава
[tex]S_{\triangle BLD}=\frac{6}{9}S_{\triangle CLD}=\frac{2}{3}.24=16[/tex]
и
[tex]S_{\triangle BCD}=40[/tex]
Намерихме половината от лицето на успоредника!
Отговор: [tex]S_{ABCD}=80[/tex]
______________
Предложената гледна точка може да трансформирате в чисто решение с отношения на лица, може с теореми на Талес (неизбежни доп. построения), Менелай и Чева, както и с вектори.