Четириъгълник вписан в окръжност изпит СУ МАТ 1 Зад 20

[BillieEilish]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност , диагоналите му имат дължини AC=25, BD=24 и се пресичат в т.Q. Ако диагоналът AC разполовява всеки от ъглите [tex]\angle[/tex]BAD и [tex]\angle[/tex]BCD ([tex]\angle[/tex]BAD > [tex]\angle[/tex]BCD), то отношението AQ:CQ е равно на колко? Отговора: 16:9
Не успях да разбера как се решава тази задача, въпреки че успях да я ударя на тото на изпита . Мислех че ще се справя сам понеже изглежда лесно, но не успях . Няма нужда от подробно решение само някакви насоки ще бъдат достатъчни. Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

Чрез двойки равни дъги доказваме, че АС е диаметър и $BD\bot AC$. Точка Q разполовява BD. Чрез Питагорова теорема например за $\Delta DQO$, в който $\angle DQO=90^\circ$ намираме $QO=\sqrt{12,5^2-12^2}=3,5$. И накрая $\frac{AQ}{QC}=\frac{12,5+3,5}{12,5-3,5}=\frac{16}{9}$

[S.B.]

Без заглавие (86).png (240.47 KiB) Прегледано 1059 пъти

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност , диагоналите му имат дължини AC=25, BD=24 и се пресичат в т.Q. Ако диагоналът AC разполовява всеки от ъглите [tex]\angle[/tex]BAD и [tex]\angle[/tex]BCD ([tex]\angle[/tex]BAD > [tex]\angle[/tex]BCD), то отношението AQ:CQ е равно на колко? Отговора: 16:9
Не успях да разбера как се решава тази задача, въпреки че успях да я ударя на тото на изпита . Мислех че ще се справя сам понеже изглежда лесно, но не успях . Няма нужда от подробно решение само някакви насоки ще бъдат достатъчни. Благодаря предварително!

[tex]\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ \Leftrightarrow 2\alpha + 2\beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABC \cong \triangle ADC[/tex] $ \Rightarrow\angle B = \angle D$ но $ \angle B + \angle D = 180^\circ \Rightarrow \angle B = \angle D = 90^\circ$
Нека $AQ = x,CQ = 25 - x$ По Питагор $ 12^{2} = x(25 - x)$ с корени $x_{1 } = 16 , x_{2 } = 9 \Rightarrow AQ :QC = 16 : 9$
На чертежа съм направила обратното $AQ < CQ$ но схващаш идеята,нали?

[BillieEilish]

Благодаря за отговорите! Аз също тръгнах да решавам задачата по този начин, но не бях сигурен дали диагоналите са перпендикулярни и не успях да се сетя за начин по който да го докажа. Ако може и с това да ми се помогне ще бъде супер!

[S.B.]

Благодаря за отговорите! Аз също тръгнах да решавам задачата по този начин, но не бях сигурен дали диагоналите са перпендикулярни и не успях да се сетя за начин по който да го докажа. Ако може и с това да ми се помогне ще бъде супер!

[tex]\triangle ABC \cong \triangle ADC (AC - обща , \angle BAC = \angle DAC , \angle BCA = \angle DCA \Rightarrow AD = AB , CD = CB[/tex] ( защото лежат срещу равни ъгли в еднаквите триъгълници
Тогава $\triangle ADB $ и $\triangle CBD $ са равнобедрени и AC е ъглополовяща и височина и медиана едноврвменно
$$\Rightarrow AC \bot BD$$

Скрит текст: покажи

Щях да го напиша веднага,но Вие казахте,че не искате подробности,а и мислех,че ще се досетите от чертежа,който съм приложила

[ptj]

Щом диагонала разполовява ъглите, то и съответните им дъги са равни.
Равни хорди отсичат равни дъги (и обратното), сл. четириъгълника е делтоид, а той има перпендикулярни диагонали.

---------------------------------

Понеже задачата ти е от тест: трябвало да избереш отношение сравнително близко и различно от 1:1.

Примерно ако имаш:

1.)-1:3

2.)2:10

3.)16:9

4.)1:1

Трябва да избереш вариант 3.)

[BillieEilish]

Благодаря отново!
Прегледах какво сте написали и ми помогна доста! Определено ми спестихте доста време в което си блъскам главата.
Оценявам отделенето от вас време и ви пожелавам приятно лято!

[inveidar]

Времето за блъскане на главата е необходимо и полезно, и в никакъв случай не си го спестявайте.