трапец

[антонийо]

Височината на равнобедрен трапец е 21 см и дели основата на трапеца в отношение 1 / 9 . Определете радиуса R на описаната около трапеца окръжност ако бедрото му е равно на малката основа на трапеца .

[S.B.]

Без заглавие (93).png (200.65 KiB) Прегледано 448 пъти

Височината на равнобедрен трапец е 21 см и дели основата на трапеца в отношение 1 / 9 . Определете радиуса R на описаната около трапеца окръжност ако бедрото му е равно на малката основа на трапеца .

[tex]AH = PB = x ,HP = DC = 8x[/tex] , $AD = DC = BC = 8x$
$x > 0$
За [tex]\triangle AHD[/tex] по Питагор :
[tex](8x)^{2} - x^{2} = 21^{2} \Rightarrow x = \sqrt{7}, AD = 8\sqrt{7}[/tex]
$\frac{DH}{AD} = sin\alpha \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{21}{8\sqrt{7}} \Rightarrow sin\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$
За [tex]\triangle DHB[/tex] по Питагор:
$DB^{2} = HD^{2} + HB^{2} \Leftrightarrow DB = \sqrt{21^{2} + (9\sqrt{7})^{2}} = 12\sqrt{7}$
$\triangle ABD$ е вписан в същата окръжност в която е вписан и трапеца $ABCD$,за това прилагам синусова теорема за $\triangle ABD$:
$\displaystyle \frac{BD}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{12\sqrt{7}}{\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}} = 2R \Leftrightarrow 2R = 32\Rightarrow $ $$R = 16$$