Квадрат

[Делян Василев]

В квадрат със страна a e вписана окръжност , а в окръжност с радиус R е вписан квадрат . Намерете отношението на лицата на вписания кръг и на вписания квадрат .

[Михаил05]

Вписаната окръжност ще има диаметър [tex]d_{1 }[/tex] = a [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi a^{2}}{4}[/tex]
Вписаният квадрат ще има диагонал [tex]d_{2 }[/tex] = R [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{2 }[/tex] = [tex]\frac{R^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{S_{1 }}{S_{2 }}[/tex] = [tex]\frac{\frac{\pi a^{2}}{4}}{\frac{R^{2}}{2}}[/tex] = [tex]\frac{\pi a^{2}}{2 R^{2}}[/tex]

[Евва]

Мисля,че има грешка при намирането на [tex]S_{2 }[/tex] .

[S.B.]

Вписаната окръжност ще има диаметър [tex]d_{1 }[/tex] = a [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi a^{2}}{4}[/tex]
Вписаният квадрат ще има диагонал [tex]d_{2 }[/tex] = R [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{2 }[/tex] = [tex]\frac{R^{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{S_{1 }}{S_{2 }}[/tex] = [tex]\frac{\frac{\pi a^{2}}{4}}{\frac{R^{2}}{2}}[/tex] = [tex]\frac{\pi a^{2}}{2 R^{2}}[/tex]

Вярно ,само че има една малка неточност ! Ако описаната около квадрата окръжност има радиус $R$ (както е по условие) ,то диагоналът вече ще бъде $d_{2 } = 2R$
Тогава ако вписания квадрат има страна $b$, то $2R = b\sqrt{2} \Leftrightarrow b = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2R\sqrt{2}}{2} \Rightarrow b = R\sqrt{2}$
$S_{2 } =b^{2} = 2R^{2}$
$\displaystyle \frac{S_{1 }}{S_{2 }} =\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\pi a^{2}}{4}}{ 2R^{2}} = \frac{\pi a^{2}}{8R^{2}}$
$$ \frac{S_{1 }}{S_{2 }} = \frac{\pi a^{2}}{8R^{2}} \ne \frac{\pi a^{2}}{2R^{2}}$$