ромб

[Делян Василев]

За диагоналите d1 и d2на ромб със страни а и лице S .Докажете че е вярно d1+ d2 ‬ = 2 *[tex]\sqrt{S+a*a}[/tex]‬
‬

[Sup3rlum]

Ще използвам $p,q$ вместо $d_1,d_2$ за да може да е малко по-прегледно.

Лицето на ромб е $S=\frac{pq}{2}$

Едната страна $a=\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{q}{2}\bigg)^2}$

Ако заместим в дясната страна на тъждеството:

$2\sqrt{S+a^2}=2\sqrt{\frac{pq}{2}+\frac{p^2}{4}+\frac{q^2}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4}(p^2+2pq+q^2)}=\sqrt{(p+q)^2}=|p+q|$

[Davids]

Алтернативен подход на същото решение е:
$d_1d_2 = 2S$
$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

$\Rightarrow d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 = 4a^2 + 4S$
$\Rightarrow d_1 + d_2 = 2\sqrt{S + a^2}$

[S.B.]

Без заглавие (3).png (245.93 KiB) Прегледано 514 пъти

За диагоналите d1 и d2на ромб със страни а и лице S .Докажете че е вярно d1+ d2 ‬ = 2 *[tex]\sqrt{S+a*a}[/tex]‬
‬

И още един поглед върху задачата:

Подлагам диагонала $DB$ на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] при която $D \rightarrow C ; B\rightarrow C_{1 }$
[tex]\triangle ACC_{1 }[/tex] е правоъгълен със страни :$AC = d_{1 } , CC_{1 } = d_{2 },AC_{1 } = 2a$
По Питагор: $d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} = (2a)^{2}$
[tex]d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} = (d_{1 } + d_{2 })^{2} - 2d_{1 }d_{2 } = 4a^{2}[/tex]
$S = \frac{d_{1 }d_{2 }}{2} \Rightarrow 2d_{1 }d_{2 } = 4S$
$(d_{1 } + d_{2 })^{2} = 4S + 4a^{2} \Rightarrow d_{1 } + d_{2 } = 2\sqrt{S + a^{2}}$