Ъглополовящи във вписан четириъгълник

[S.B.]

Без заглавие (92).png (294.32 KiB) Прегледано 600 пъти

Четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност.Ъглополовящите на ъглите $\angle BAD$ и $\angle ABC$ се пресичат в т.$E , E\in DC$.
Да се докаже,че $CD = AD + BC$

[Евва]

Получи се,но свободното ми време свърши .
Да видим по колко начина ще я решим .

[KOPMOPAH]

Вписан четириъгълник с ъглополовящи - 2.png (15.74 KiB) Прегледано 510 пъти

Разсъждавам така: след като $AE$ и $BE$ са ъглополовящи, значи разстоянията от т.$E$ до $AD$ и $BC$ са равни. Доколкото в задачата няма нито един линеен размер, спокойно можем да приемем $$EG=EH=1$$.

Скрит текст: покажи

Ако някой предпочита, може да го обозначи с някоя буква, която след извършване на действията да се съкрати

$$AD=DG+GA=x+y \\ \triangle DGE \rightarrow \frac 1x=\operatorname {tg} (180^\circ-2\beta)=-\tg 2\beta \Rightarrow x=-\frac 1{\tg 2\beta } ~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\\ \triangle AGE \rightarrow \frac 1y= \tg \alpha\Rightarrow y=\frac 1{\tg \alpha }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$Аналогично$$ \triangle CHE \rightarrow \frac 1{CH}=\operatorname {tg} (180^\circ-2\alpha)=-\tg 2\alpha \Rightarrow CH=-\frac 1{\tg 2\alpha } ~~~~~~(3)\\ \triangle BHE \rightarrow \frac 1{BH}= \tg \beta\Rightarrow BH=\frac 1{\tg \beta }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$Събирайки равенства от $(1)$ до $(4)$, получаваме израза:$$A=-\frac 1{\tg 2\beta }+\frac 1{\tg \alpha }-\frac 1{\tg 2\alpha }+\frac 1{\tg \beta }=\frac 1{\tg \alpha }-\frac 1{\tg 2\alpha }+\frac 1{\tg \beta }-\frac 1{\tg 2\beta }$$Работим с половината членове, защото за другите е аналогично:$$\frac 1{\tg \alpha }-\frac 1{\tg 2\alpha }\Leftrightarrow \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}-\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \Leftrightarrow \frac{\sin 2\alpha\cos \alpha-\cos 2\alpha\sin \alpha}{\sin \alpha\sin2 \alpha} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{\sin(2\alpha-\alpha)}{\sin \alpha\sin2 \alpha}\Leftrightarrow \frac{\cancel{\sin \alpha}}{\cancel{\sin \alpha}\sin2 \alpha}=\frac1{sin2 \alpha} $$
Значи в крайна сметка:$$A=\frac1{sin2 \alpha}+\frac1{sin2 \beta}$$
Но от $\triangle DGE \rightarrow ED=\frac 1{\sin2 \beta}$, а от $\triangle CHE \rightarrow EC=\frac 1{\sin2 \alpha}$ и, събирайки тези две равенства, получаваме $CD=\frac 1{\sin2 \alpha}+\frac 1{\sin2 \beta}$, откъдето следва, че $$CD=AD+BC$$

[Евва]

Построявам окр.[tex]К_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];R) описана около [tex]\triangle[/tex]АВЕ .Нека [tex]К_{1 }[/tex] пресича отс.СЕ в т.Р .
[tex]\angle[/tex]АРЕ=[tex]\frac{\widehat{AE}}{2}[/tex]=[tex]\angle[/tex]ABE=[tex]\beta[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]APE=[tex]\angle[/tex]APD=[tex]\beta[/tex] (1)
(вписани) [tex]\angle[/tex]АРВ=[tex]\angle[/tex]ВЕА=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]) (2)
Тогава [tex]\angle[/tex]ВРС=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\beta[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])=[tex]\alpha[/tex] ,намерихме [tex]\angle[/tex]ВРС=[tex]\alpha[/tex] (3)
ABCD е вписан [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]PDA=[tex]\angle[/tex]CDA=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\beta[/tex]
([tex]\triangle[/tex]APD) [tex]\angle[/tex]DAP+[tex]\angle[/tex]APD+[tex]\angle[/tex]PDA=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]DAP+[tex]\beta[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\beta[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAP=[tex]\beta[/tex] (4)
От (1) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]APD е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] AD=PD
По същия начин ( ползваме (3) ) доказваме,че [tex]\triangle[/tex]ВСР е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] ВС=РС

CD=PD+PC=AD+BC

[S.B.]

Без заглавие (58).png (346.92 KiB) Прегледано 485 пъти

Ето и моето решение:
[tex]AE ,BE[/tex] - ъглополовящи ,построявам $EM\bot DA,EN\bot AB , EP\bot BC , EM = EN = EP = r$ ,където $r$ е радиус на огръжност с център $E$, която се допира до раменете на ъглите $\angle DAB$ и $\angle ABC$ в точките $M,N,P$
От $\triangle DME \rightarrow \frac{r}{DE} = sin(180 - 2\beta) \Rightarrow DE = \frac{r}{sin2\beta}$
От $\triangle PCE \rightarrow \frac{r}{CE} = sin(180 - 2\alpha) \Rightarrow CE = \frac{r}{sin2\alpha}$

$DE + CE = \frac{r}{sin2\beta} + \frac{r}{sin2\alpha} =...= 2r\frac{sin(\alpha + \beta).cos(\alpha - \beta)}{sin2\alpha.sin2\beta} = DC$

От $\triangle DME \rightarrow \frac{DM}{r} = cotg(180 - 2\beta) \Rightarrow DM = - rcotg2\beta$
От $\triangle АМЕ \rightarrow \frac{MA}{r} = cotg\alpha \Rightarrow MA = r.cotg\alpha$
$AD = AM + MD = rcotg\alpha - rcotg2\beta = r(cotg\alpha - ctg2\beta)$

От $\triangle EPC \rightarrow \frac{PC}{r} = cotg(180 - 2\alpha) \Rightarrow PC = - r.cotg2\alpha$
От $\triangle EBP \rightarrow \frac{BP}{r} = cotg\beta \Rightarrow BP = rcotg\beta$
$BC = BP + PC = r(cotg\beta - cotg2\alpha)$

$AD + BC = r(cotg\alpha -cotg2\beta) + r(cotg\beta - cotg2\alpha) = r(cotg\alpha + cotg\beta) - r(cotg2\alpha + cotg2\beta) = $
$= r.\frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha.sin\beta} - r.\frac{sin2(\alpha + \beta)}{sin2\alpha.sin2\beta} = .......=$
$ = 2r.\frac{sin(\alpha + \beta).cos(\alpha - \beta)}{sin2\alpha.sin2\beta} = DC$
$$\Rightarrow AD + BC = DC$$