Вписана и описана окръжност около трапец

[konstantin1010]

Трапец с основи 2 и 10 е такъв, че в него може да се впише окръжност и около него може да се опиши окръжност. Къде се намира центърът на описана окръжност: в трапеца ли ? на една от страните му ли ? или извън от нето ?

[ptj]

[tex]AB=10,CD=2[/tex]
Трапеца [tex]ABCD[/tex] е равнобедрен и средната му отсвчка [tex]MN[/tex] е равна на бедрата.
[tex]cos\alpha=\frac{2}{3}\Rightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow tg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex].

Центъра на описаната окръжност е пресечената точка на симетралата през средите на основите (и средната отсечка) с симетралата на бедрото (перпендикуляр през средата му).

[tex](sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}) \cap (BN=3)\Rightarrow[/tex] разстоянието между [tex]MN[/tex] и [tex]AB[/tex] е [tex]\sqrt{5}[/tex].

[tex]т.K[/tex] среда на [tex]MN[/tex], [tex]т.O[/tex] център на описаната окръжност.

[tex]KN:KO=tg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow KO=3\frac{2}{\sqrt{5}}>\sqrt{5}[/tex] сл. центъра е извън трапеца.