Четириъгълник - ABCD

[Тодор Ясенов]

Страните на четириъгълник ABCD са AB= 6 , BC= 4 , CD = 3 и AD=2.Диагоналът AC разполовява ъгъл BAD . Да се намери AC.

[S.B.]

Без заглавие (44).png (249.53 KiB) Прегледано 540 пъти

Страните на четириъгълник ABCD са AB= 6 , BC= 4 , CD = 3 и AD=2.Диагоналът AC разполовява ъгъл BAD . Да се намери AC.

Нека $AC = x ,\angle BAC = \angle DAC = \alpha$

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагаш косинусова теорема :$CB^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC.cos\alpha \Leftrightarrow 4^{2} = x^{2} + 6^{2} - 2.6.x.cos\alpha$
За $\triangle ACD$ прилагаш косинусова теорема :$CD^{2} = AD^{2} + AC^{2} - 2.AD.AC.cos\alpha \Leftrightarrow 3^{2} = 2^{2} + x^{2} - 2.2.x.cos\alpha$
Образуваш система от 2 уравнения с две неизвестни - $x$ и $\alpha$:

$\begin{array}{|l} 16 = x^{2} + 36 - 12x.cos\alpha \\ 9 = x^{2} + 4 - 4x.cos \end{array}$

умножаваш второто по (-3) и получаваш:

$\begin{array}{|l} 16 = x^{2} + 36 - 12x.cos\alpha \\- 27 = - 3x^{2} - 12 + 12x.cos\alpha \end{array}$

събираш и получаваш:
$- 11 = - 2x^{2} + 24 \Leftrightarrow 2x^{2} - 35 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{2}x + \sqrt{35})(\sqrt{2}x - \sqrt{35}) = 0$

$x_{1 ,2} = \pm \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{70}}{2}$
$$AC = \frac{\sqrt{70}}{2}$$