Четириъгълник с перпендикулярни диагонали

[KOPMOPAH]

Четириъгълникът $KLMN$ е вписан в окръжност с център $I$. Диагоналите му са перпендикулярни и се пресичат в т.$O$.
Да се докаже, че разстоянието от т.$I$ до $MN$ е равно на $OQ$, където $Q$ е средата на страната $KL$.

[S.B.]

Без заглавие (26).png (418.53 KiB) Прегледано 976 пъти

Четириъгълникът $KLMN$ е вписан в окръжност с център $I$. Диагоналите му са перпендикулярни и се пресичат в т.$O$.
Да се докаже, че разстоянието от т.$I$ до $MN$ е равно на $OQ$, където $Q$ е средата на страната $KL$.

1) Построявам права $p$ .такава,че [tex]\begin{array}{|l} p Z Q\\ p Z O \\ p \cap MN = P\end{array}[/tex]
$\angle LKM = \angle LNM = \frac{д.LM}{2} = \alpha $, $\triangle KLO $ и $\triangle NMO$ са правоъгълни по условие
$\Rightarrow \angle KLO = \angle NMO = 90^\circ - \alpha$
По условие $Q$ е среда на $KL \Rightarrow KQ = QO = QL , \triangle KQO $ е равнобедрен и $ \angle KOQ = \alpha$
$\angle POM = \angle KOQ = \alpha \Rightarrow \triangle POM$ е правоъгълен ,$\angle OPM = 90^\circ \Rightarrow p\bot MN$
2)Построявам права $d$, такава,че $\begin{array}{|l} d Z I\\ d \bot NM\\d\cap NM = T\end{array}$
$$ \begin{cases} d\bot NM \\ p \bot NM \end{cases} \Rightarrow p||d$$
3)$d Z I \Rightarrow $ е диаметър и тогава $T$ е среда на $NM$
Построявам права $l$ , такава,че $\begin{array}{|l} l Z T \\ l Z O\\l\cap KL = S\end{array}$
Както в 1) доказвам,че $l \bot KL$
4) Построявам права $m$ такава,че $\begin{array}{|l} m Z Q \\ m Z I\ \end{array}$
$Q$ е среда на $KL$, $m$ е диаметър $ \Rightarrow m \bot KL$
$$m\bot KL , l\bot KL \Rightarrow m||l$$
От $\begin{array}{|l} p || d \\ m || l \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} IT || OQ\\ QI || OT \end{array} \Rightarrow QOTI$ е успоредник$\Rightarrow $
$$ IT = OQ$$

[KOPMOPAH]

Супер.gif (8.21 KiB) Прегледано 961 пъти

Хубаво решение, хубав чертеж!