трапецТрапецът ABCD (AB||CD,AB>CD ) е вписан в окръжност

[IVI]

Трапецът ABCD (AB||CD,AB>CD ) е вписан в окръжност и в него може да се впише окръжност. Ако лицето на трапеца е 12кв.см и AD:AC = 4:5, да се намерят страните на трапеца.

[Евва]

Случайно отговорите да са AB=4+[tex]\sqrt{7}[/tex] см. , CD=4-[tex]\sqrt{7}[/tex] см., BC=AD=4 см.

[Евва]

Нека AD=BC=4x ,AC=5x ,AB=a ,CD=b и CH=h (CH е височина на трапеца) .
[tex]К_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];R)- описана около ABCD , [tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];r)-вписана в ABCD
Трапецът ABCD е вписан в окр.[tex]К_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] е равнобедрен т.е. AD=BC=4x
Трапецът ABCD е описан около [tex]K_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a+b=4x+4x ; a+b=8x (1)
[tex]S_{ABCD }[/tex]=12 ; [tex]\frac{(a+b)h}{2}[/tex]=12 ; [tex]\frac{8xh}{2}[/tex]=12 ; h=[tex]\frac{3}{x}[/tex] (2)

теорема на Птолемей AC.BD=AB.CD+AD.BC
5x.5x=ab+4x.4x [tex]\Leftrightarrow[/tex] ab=9[tex]x^{2}[/tex] (3)
Решаваме системата от (1) и (3) уравнение ,получаваме a=(4+[tex]\sqrt{7}[/tex])x , b=(4-[tex]\sqrt{7}[/tex])x [ дадено е a>b ]
[tex]\triangle[/tex]НВС-правоъгълен [tex]НВ^{2}[/tex]+[tex]СН^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex]
([tex]\frac{a-b}{2})^{2}[/tex]+[tex]h^{2}[/tex]=([tex]4x)^{2}[/tex]
([tex]\frac{2\sqrt{7}x}{2})^{2}[/tex]+[tex]\frac{9}{x^{2}}[/tex]=16[tex]x^{2}[/tex] |.[tex]x^{2}[/tex][tex]\ne[/tex]0

7[tex]x^{4}[/tex]+9=16[tex]x^{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x=1

Тогава a=4+[tex]\sqrt{7}[/tex] см. ,b=4-[tex]\sqrt{7}[/tex] см. ,AD=BC=4 см.