Ромб и окръжност

[vezni]

Даден е ромб [tex]ABCD[/tex]. Построени са окръжност [tex]K_1[/tex] с център т. [tex]B[/tex], минаваща през т. [tex]C[/tex], и окръжност [tex]K_2[/tex] с център т. [tex]C[/tex], минаваща през т. [tex]B[/tex]. [tex]E[/tex] е една от пресечните точки на двете окръжности. Правата [tex]ED[/tex] пресича за втори път [tex]K_1[/tex] в т. [tex]F[/tex]. Да се намери [tex]\angle AFB[/tex].

[Добромир Глухаров]

Сигурно има и по-лесен начин, но ето какво ми хрумна:

Ромб.png (16.82 KiB) Прегледано 391 пъти

$FB\cap k_1=G,\ FG$ - диаметър

$\underline{\angle BAD}=\alpha$, $\Delta BCE - равностранен, \angle CBE=\angle BEC=\angle ECB=60^\circ$
$\angle ABE=180^\circ-60^\circ-\alpha=120^\circ-\alpha,\ \angle AFE=\frac{1}{2}дъгата\ AE=60^\circ-\frac{\alpha}{2}$

$\angle FEG=90^\circ$ - опира се на диаметъра. $\angle FEB=\frac{1}{2}дъгата\ BD=\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{\alpha}{2},\ \angle CEG=90-60-\frac{\alpha}{2}=30-\frac{\alpha}{2},дъгата\ GC=60-\alpha\Rightarrow дъгата\ EG=\alpha\Rightarrow\angle EFG=\frac{\alpha}{2}$

$\Rightarrow\angle AFB=\angle AFE+\angle EFG=60^\circ$

[Евва]

Аз построих трета окръжност .
Нека АО е диаметър на окр. [tex]К_{1 }[/tex] , построих окр.[tex]К_{3 }[/tex] (О;R=АВ)
При моя чертеж [tex]К_{1 }[/tex] и [tex]К_{3 }[/tex] се пресичат в т.G .
Това обаче не мога да докажа.
[tex]\triangle[/tex]BOG е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BOG=60[tex]^\circ[/tex]
за окр. [tex]К_{1 }[/tex] впис.[tex]\angle[/tex]AFG=впис.[tex]\angle[/tex]AOG=[tex]\angle[/tex]BOG=60[tex]^\circ[/tex]