Трапец и перпендикулярни диагонали

[poankare56]

Нека ABCD е трапец с взаимно перпендикулярни диагонали и основи A =a , CD= b , където a>b . Правите AD и BC се пресичат в точка E и сключват помежду си ъгъл 45. Да се намери:
а) височината на трапеца.
б) лицето на ABE .

[Евва]

а) Получавам h=[tex]\frac{1+\sqrt{2}}{2}[/tex].(a-b)

Това ли е отговора ?

[poankare56]

Нямам отговори, но аз също получих толкова, затова вярвам, че е така.
П.П.:то същността на задачата се крие в това, че т.О-пресечната на диагоналите, се явява център на описаната около тр.АЕB окр.

[KOPMOPAH]

Твърдението, което

...т.О-пресечната на диагоналите, се явява център на описаната около тр.АЕB окр.

е вярно само ако трапецът е равнобедрен. В общия случай центърът (на чертежа отбелязан с т.$F$) на окръжността, описана около $\triangle ABE$ е средата на полуокръжността с диаметър голямата основа $a$. На тази полуокръжност по един естествен начин заради перпендикулярността на диагоналите лежи и пресечената им точка $O$.

Трапец и перпендикулярни диагонали.png (15.97 KiB) Прегледано 3984 пъти

[poankare56]

Съгласявам се с Вас, наистина това е само частен случай;
Вие получихте ли някакъв краен отговор?

[S.B.]

Без заглавие - 2020-01-13T164205.982.png (266.29 KiB) Прегледано 3909 пъти

Нека ABCD е трапец с взаимно перпендикулярни диагонали и основи A =a , CD= b , където a>b . Правите AD и BC се пресичат в точка E и сключват помежду си ъгъл 45. Да се намери:
а) височината на трапеца.
б) лицето на ABE .

Свойство:
Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни е изпълнено:
[tex]a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}[/tex]
където $a$ и $b$ са основите на трапеца, $c$ и $d$ - бедрата му
МАТЕМАТИЧЕСКИ СПРАВОЧНИК ,Боряна Дачева Милкоева,12.06.1998 г. МОН

a) В трапеца $ABCD ,AB = a ,CD = b ,AD = c ,BC = d$
Построявам $CK || AD , K \in AB$
За $\triangle KBC $ прилагам косинусова теорема:
$ KB^{2} = KC^{2} + BC^{2} - 2.KC.BC.cos\angle KCB \Leftrightarrow (a - b)^{2} = c^{2} + d^{2} - 2cdcos45^\circ$
$a^{2} - 2ab + b^{2} = c^{2} + d^{2} - 2cd\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow ab = cd\frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{KBC } = \frac{cd\sqrt{2}}{4} ,\frac{cd\sqrt{2}}{4} = \frac{ab}{2} \Rightarrow S_{KBC } = \frac{ab}{2}$
$S_{KBC } = \frac{KB.h}{2} \Rightarrow \frac{(a - b)h}{2} = \frac{ab}{2} \Rightarrow$ $$ h = \frac{ab}{(a - b)}$$
б) $\triangle ABE \approx \triangle KBC $ с коеф. на подобност $k = \frac{a}{a -b}$
Тогава $\frac{S_{ABE }}{S_{KBC }} = (\frac{a}{a -b})^{2} \Rightarrow S_{ABE } = S_{KBC }.\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}} = \frac{ab}{2}.\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}$ $$S_{ABE } = \frac{a^{3}b}{2(a - b)^{2}}$$

[KOPMOPAH]

Много добро и стилно решение.

Само да попитам - Боряна Дачева Милкоева посочва споменатото свойството само за трапец ли? Защото от Питагорова теорема за четирите правоъгълни триъгълника с общ връх т.$O$ следва, че е в сила за произволен четириъгълник с перпендикулярни диагонали

[S.B.]

Много добро и стилно решение.

Само да попитам - Боряна Дачева Милкоева посочва споменатото свойството само за трапец ли? Защото от Питагорова теорема за четирите правоъгълни триъгълника с общ връх т.$O$ следва, че е в сила за произволен четириъгълник с перпендикулярни диагонали

Не виждам да е правила обобщение за всички четириъгълници.Тя разглежда всяка фигура поотделно.Това свойство открих в "Произволен трапец"
Самият справочник е създаден като помагало на кандидат студентите,които кандидатстваха в СУ през 1998 година.Те бяха длъжни да си го купят ако искаха да ползват справочник на изпита.Друг справочник не се допускаше.Аз го имам като "спомен" от малкия ми син.

[vezni]

Един четириъгълник е с перпендикулярни диагонали тогава и само тогава, когато [tex]a^2+c^2=b^2+d^2[/tex], тоест сборовете от квадратите на срещуположните страни са равни. Важи и в двете посоки за произволен четириъгълник.