Задача от раздел-подобни триъгълници

[Евва]

Даден е успоредникът ABCD и точка М върху АВ такава ,че АМ:МВ=2:3 .
Ако DM и AC се пресичат в точка N и лицето на [tex]\triangle[/tex]ADN=a ,да се намери лицето на ABCD .

Скрит текст: покажи

Отговор 7а

[Nathi123]

Построяваме [tex]DH\bot AB\Rightarrow S_{\triangle AMD }=\frac{1}{2}AM.DH ; S_{ABCD }=AB.DH\Rightarrow \frac{S_{\triangle AMD }}{S_{ABCD }}=\frac{AM}{2AB}=\frac{1}{5}[/tex]
[tex]\frac{AM}{MB} = 2:3\Rightarrow AM=2x;BM=3x; AB=5x .[/tex] Нека [tex]AP\bot DM \Rightarrow \frac{Sx_{AND }}{S_{AMN }}=\frac{DN}{MN}[/tex].
[tex]\triangle AMN \approx \triangle DCN\Rightarrow \frac{DN}{MN}=\frac{DC}{AM}=5:2\Rightarrow S_{AMN }=\frac{2a}{5}\Rightarrow S_{\triangle AMD }=a+\frac{2a}{5}=\frac{7a}{5}[/tex]
[tex]\frac{S_{\triangle AMD }}{S_{ABCD }}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow S_{ABCD }=7a.[/tex]

[KOPMOPAH]

Задача от раздел подобни триъгълници.png (11.99 KiB) Прегледано 449 пъти

И още един поглед към задачата:

Прекарваме права през $B$, успоредна на $DM$.

От теоремата на Талес $AN:NQ=AM:MB=2:3$.
Триъгълниците $\triangle AMN$ и $\triangle CPQ$ са еднакви, значи $AN=CQ$, $AN:NQ:CQ=2:3:2$.
Триъгълниците $\triangle ADN$ и $\triangle ADC$ имат равни височини, следователно лицата им се отнасят както основите $\Rightarrow S_{ADN}:S_{ADC}=2:7, \Rightarrow S_{ADC} =\frac 72a$.
В крайна сметка $S_{ABCD}=2S_{ADC}=2.\frac 72a=7a$.

[Меди]

И още един поглед върху задачата: $\dfrac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle{ADN}}}=\dfrac{S_{\triangle AMN}}{a}=\dfrac{MN}{DN}=\dfrac{AM}{CD}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow S_{\triangle AMN}=\dfrac{2}{5}a$. Следователно $S_{\triangle ADM}=S_{\triangle ADN}+S_{\triangle AMN}=a+\dfrac{2}{5}a=\dfrac{7}{5}a$. Имаме и $\dfrac{S_{\triangle ADM}}{S_{\triangle{ADB}}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow S_{\triangle{ADB}}=\dfrac{5}{2}S_{\triangle{ADM}}$. $S_{ABCD}=2\cdot S_{\triangle ADB}=2\cdot\dfrac{5}{2}\cdot S_{\triangle ADM}=2\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{7}{5}a=7a$.

Задача с подобни триъгълници.png (26.26 KiB) Прегледано 408 пъти