Успоредник и трапец

[kris_951]

Здравейте, ще съм благодарен, ако ми помогнете с решението на следните две задачи:

1. На чертежа ABCD е успоредник, [tex]\angle[/tex]ABD = 40[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]ACM = 90[tex]^\circ[/tex] и CM = BD. Намерете лицето на успоредника, ако лицето на [tex]\triangle[/tex]AMC е 12 см[tex]^{2}[/tex]
Отг: 6[tex]\sqrt{3}[/tex]

1.PNG (5.29 KiB) Прегледано 562 пъти

2. Трапец ABCD с основа AB = 12 е вписан в окръжност k. Ако [tex]\cap[/tex]AB:[tex]\cap[/tex]BC:[tex]\cap[/tex]CD = 4 : 3 : 2, то дължината на радиуса на окръжността k е?
Отг: 4[tex]\sqrt{3}[/tex]

2.PNG (4.49 KiB) Прегледано 562 пъти

[Davids]

Зад. 1:
Нека $AC \times BD = O$, $AC = d_1$ и $BD = d_2 = MC$. Тогава $S_{AMC} = \frac{d_1d_2}{2} = 12$.
Освен това $\angle CDB = \angle ABD = 40^{\circ} \Rightarrow \angle AOB = \angle COD = 180 - (20 + 40) = 120^{\circ}$ е ъгълът между диагоналите.
Лицето на всеки произволен четириъгълник може да се намери по формулата $S = \frac{1}{2}d_1d_2sin\varphi$, където $d_1$ и $d_2$ са неговите диагонали, а $\varphi$ е ъгълър между тях.
Тогава $S_{ABCD} = \frac{d_1d_2}{2}.sin\varphi = 12sin120 = 12.\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Зад. 2:
Вписан в окръжност трапец винаги е равнобедрен. Тогава $AD = BC$, съответно и дъгите срещу тях са равни. Това ни дава отношение на четирите дъги $\widehat{AB} : \widehat{BC} : \widehat{CD} : \widehat{AD} = 4:3:2:3$ със сбор $360^{\circ}$. Оттам лесно намираме, че $\widehat{AB} = 120^{\circ}$.
Нека $О$ е центърът на окръжността. Тогава $\angle AOB = \widehat{AB} = 120^{\circ}$, тъй като е централен, и също $AO = BO = R$.
Прилагаме косинусова теорема за триъгълника, според която:
$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2.AO.BO.cos120$
$12^2 = 2R^2(1 - cos120) = 2R^2(1 - (-\frac{1}{2})) = 3R^2$
$\Rightarrow \sqrt{3}R = 12$
$\Rightarrow R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$