М е среда на страната AB=a на ромб. Сборът на MD^2+MC^2=?

[Гост]

Точка М е среда на страната AB=a на ромб. Сборът на MD^2+MC^2=?

[Гост]

Приложи косинусова теорема за [tex]\triangle[/tex]AMD и [tex]\triangle[/tex]MBC .
[tex]MD^{2}[/tex]=...
[tex]MC^{2}[/tex]=...
Като ги събрах получих [tex]\frac{5а^{2}}{2}[/tex]

[Гост]

Привет!
Както в по-горното решение, и аз получих [tex]\frac{5}{2}[/tex][tex]a^{2}[/tex], но ще предложа малко по-подробно решение с известни съкращения, разбира се, предполагайки, че те могат да бъдат извършени самостоятелно.
Така, построяваме двата диагонала, които съответно имат стойности а[tex]\sqrt{2 + 2cos\alpha}[/tex] и а[tex]\sqrt{2 - 2cos\alpha}[/tex] ( плюса е за по-големият диагонал)
Следва прилагане на формулите за медиани в триъгълник, както следва:

CM = [tex]\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2(a\sqrt{2 + 2cos\alpha})^{2} - a^{2}}[/tex]

DM = [tex]\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2(a\sqrt{2 - 2cos\alpha})^{2} - a^{2}}[/tex]

След преобразуване на изразите се получава:
CM = [tex]\frac{a}{2}\sqrt{1 + 4(1 + cos\alpha})[/tex]

DM = [tex]\frac{a}{2}\sqrt{1 + 4(1 - cos\alpha})[/tex]
Следва събиране на квадратите на двете медиани.

Надявам се е станало една идея по-ясно, моля все пак висшите сили на този сайт да проверят
Успех!