четириъгълник

[Здравко 99]

Точките M и N са средите на страните ВС и СD на успоредника ABCD, а точка Р е такава, че AMPN е успоредник. Докажете, че точките А,С и Р лежат на една права.

[KOPMOPAH]

Четириъгълник (вектори).png (10.89 KiB) Прегледано 433 пъти

Ще го докажем с вектори:
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
$$\overrightarrow{AM}=\frac 12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
$$\overrightarrow{AN}=\frac 12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$
Като заместим от $(3)$ и $(4)$ в $(2)$ и вземем предвид $(1)$ ще получим:$$\overrightarrow{AP}=\frac 12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac 12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right)$$
$$\overrightarrow{AP}=\frac 12\underbrace{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)}_{=\overrightarrow{AC}}+\overrightarrow{AC}=\frac 32\overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{AP}=\frac 32\overrightarrow{AC}$$
От последния израз следва, че векторите са колинеарни, а след като началото им е общо, значи трите точки лежат на една права.