Успоредник

[Гост]

Да се докаже че ако ъглополовящите през върховете на А и В на успоредника АВСD пресичат диагоналите му в точки М и Р, то МР е успоредна на АВ?

[KOPMOPAH]

Успоредник.png (15.78 KiB) Прегледано 363 пъти

Отбелязваме $AB$ с $a$, $BC$ с $b$, големия диагонал с $d_1$, малкия - с $d_2$, пресечената точка на диагоналите с $O$, $OP$ с $x$ и $OM$ с $y$.

В $\triangle ABD$ $AM$ е ъглополовяща, следователно:$$\frac ab=\frac{\displaystyle\frac{d_2}2+y}{\displaystyle\frac{d_2}2-y}~~~~~~~~(1)$$
В $\triangle ABC$ $BP$ е ъглополовяща, следователно:$$\frac ab=\frac{\displaystyle\frac{d_1}2+x}{\displaystyle\frac{d_1}2-x}~~~~~~~~(2)$$
От равенствата $(1)$ и $(2)$ след преработка се получава:$$\frac{\displaystyle\frac{d_1}2}{x}=\frac{\displaystyle\frac{d_2}2}{y}$$откъдето следва, че $\triangle OPM \approx \triangle OCD$ по първи признак (имат и общ ъгъл) и нататък е ясно