Квадрати и триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник като върху двата му катета са построени два квадрата външно от триъгълника. Начертана е права от краищата на хипотенузата до най отдалечените ъгли на квадратите от тях. Да се докаже, че тези две прави отсичат равни отсечки от катетите, считано от върха на правия ъгъл. Затруднявам се да разбера какво точно се търси в задачата, тъй като правите в моя чертеж не пресичат катетите а тръгват от върховете A и B на триъгълника. Ще се радвам ако някой ми помогне със тълкуването и решението на задачата!

[KOPMOPAH]

Квадрати и триъгълник.png (18.06 KiB) Прегледано 378 пъти

Според условието трябва да се докаже, че $CI=CH$.

От подобието:$$\triangle ACH \approx \triangle AED \Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{CH}{ED}\Rightarrow CH=\frac{AC.ED}{AE}~~~~~~~~(1)$$
От подобието:$$\triangle BCI \approx \triangle BFG \Rightarrow \frac{BC}{BF}=\frac{CI}{FG}\Rightarrow CI=\frac{BC.FG}{BF}~~~~~~~~(2)$$
Като отчетем, че страните на съответните квадрати са равни:$$AC=FG,\,BC=ED,\,AE=BF$$и заместим в изразите $(1)$ и $(2)$ получаваме търсеното равенство.