Успоредник 9 клас

[Гост]

Двете височини спуснати през тъпия ъгъл на успоредник АВСD са 4 см и 6 см и образуват ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Да се намери големият диагонал на успоредника? Отговор: [tex]\frac{2}{sin\alpha} × \sqrt{13 + 12cos\alpha}[/tex].

[S.B.]

Двете височини спуснати през тъпия ъгъл на успоредник АВСD са 4 см и 6 см и образуват ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Да се намери големият диагонал на успоредника? Отговор: [tex]\frac{2}{sin\alpha} × \sqrt{13 + 12cos\alpha}[/tex].

Без заглавие - 2020-08-22T210223.578.png (199.45 KiB) Прегледано 463 пъти

Около четириъгълника [tex]MBND[/tex] може да се опише окръжност. Щом $\angle MDN = \alpha\Rightarrow \angle MBN = 180^\circ - \alpha \Rightarrow \angle A = \alpha$
$\triangle AMD \approx \triangle DCN \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{DM}{DN} = \frac{4}{6} \Rightarrow AD = BC = 2x,CD = AB = 3x$
Разглеждам $\triangle ADM$:
По Питагор $\rightarrow АМ = \sqrt{(2x)^{2} - 4^{2}} \Rightarrow АМ = 2\sqrt{x^{2} - 4}$
$\frac{DM}{AD} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{4}{2x} = sin\alpha \Rightarrow sin\alpha = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x = \frac{2}{sin\alpha}$
Построявам $CP \bot AB,\triangle BCP\cong \triangle AMD \Rightarrow BP = AM = 2\sqrt{x^{2} - 4}$
За $\triangle APC \rightarrow AP = AB + BP = 3x + 2\sqrt{x^{2} - 4} ,CP = 4 $
И по Питагор $AC^{2} = AP^{2} + CP^{2} \Leftrightarrow$
$(3x + 2\sqrt{x^{2} - 4})^{2} + 4^{2} = 9x^{2} + 12x\sqrt{x^{2} - 4} + 4x^{2} - 4^{2} + 4^{2} = 13x^{2} + 12x\sqrt{x^{2} - 4} = $
$ = x(13x + 12\sqrt{x^{2} - 4})$
Замествам $ x = \frac{2}{sin\alpha}$

$x(13x + 12\sqrt{x^{2} - 4} ) = $
$ = \frac{2}{sin\alpha}(13.\frac{2}{sin\alpha} + 12\sqrt{\frac{4}{sin^{2}\alpha} - 4}) = \frac{2}{sin\alpha}(13.\frac{2}{sin\alpha} + 12.\frac{2}{sin\alpha}\sqrt{1 - sin^{2}\alpha}) \Rightarrow $
$ AC^{2}= \frac{4}{sin^{2}\alpha}(13 + 12cos\alpha)$
$$AC = \frac{2}{sin\alpha}\sqrt{13 + 12cos\alpha}$$