Лице на четириъгълник по дадени 4 страни Помощ!

[skadevil]

Здравейте! Може ли някой да ми помогне малко със следната задача: В четириъгълника ABCD е вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N и AK=10, BL=8, CM=7, DN=2. Да се намери радиусът на окръжността и лицето на четириъгълника. Понеже АК, BL, CM, DN са допирателни те ще са равни на AN,DM,KB,CL и оттък може да се намери p=27 и да използваме S=p*r, но не мога да намеря лицето и оттам r.

[Гост]

Има формула за радиуса на окръжността по дадени допирателни. Виж в Уикипедия.

[skadevil]

Има формула за радиуса на окръжността по дадени допирателни. Виж в Уикипедия.

Благодаря за указанията, но не намерих нищо за такава формула. В Уикипедия има изразен радиусът чрез други неща, но не мисля, че чрез тях се решава задачата.

[S.B.]

Здравейте! Може ли някой да ми помогне малко със следната задача: В четириъгълника ABCD е вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N и AK=10, BL=8, CM=7, DN=2. Да се намери радиусът на окръжността и лицето на четириъгълника. Понеже АК, BL, CM, DN са допирателни те ще са равни на AN,DM,KB,CL и оттък може да се намери p=27 и да използваме S=p*r, но не мога да намеря лицето и оттам r.

Мисля,че в условието е изпусната някаква информация - например сбор на срещуположните ъгли, или дали четириъгълникът е хем вписан ,хем описан около окръжност:
За лицето на ОПИСАН четриъгълник :
[tex]S = \sqrt{abcd}sin\frac{\alpha + \gamma}{2}[/tex] , където $\alpha$ и $\gamma$ са срещуположни ъгли;

За лицето на четириъгълник,който е едновременно ВПИСАН и ОПИСАН:
$S = \sqrt{abcd}$
Това следва от лицето на произволен четириъгълник,за който лесно се доказва,че :
$ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos^{2}\frac{\alpha +\gamma}{2}}$ където $p = \frac{a + b + c + d}{2}$
Въобще,струва ми се,че без ъгъл не може да се реши задачата,но това е лично мое мнение.

[skadevil]

Здравей S.B! Проверих условието и само това е дадено. Преди да постна задачата намерих лицето на четириъгълника с формулата за едновременно вписан и описан, но после видях, че в условието пише само вписана окръжност и за това... По тази формула лицето излезе 54[tex]\sqrt{10}[/tex] и радиусът 2 [tex]\sqrt{10}[/tex] , но нямам отговори, за да ги сравня

[ins-]

Виж:
https://en.wikipedia.org/wiki/Tangential_quadrilateral
Раздел:
Inradius
Търси текст:
"In terms of the tangent lengths, the incircle has radius[8]:Lemma2[14]" и там е формулата, която ти трябва за радиуса на вписаната окръжност чрез допирателните.

Скрит текст: покажи

Последният резултат от раздела е мое откритие (авторска задача)

[S.B.]

Здравейте! Може ли някой да ми помогне малко със следната задача: В четириъгълника ABCD е вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N и AK=10, BL=8, CM=7, DN=2. Да се намери радиусът на окръжността и лицето на четириъгълника. Понеже АК, BL, CM, DN са допирателни те ще са равни на AN,DM,KB,CL и оттък може да се намери p=27 и да използваме S=p*r, но не мога да намеря лицето и оттам r.

Без заглавие - 2020-09-01T223417.098.png (288.01 KiB) Прегледано 2798 пъти

$ABCD$ е описан четириъгълник $\Rightarrow S_{ABCD } = \sqrt{AB.BC.CD.DA}.sin\frac{\beta + \delta}{2}\Leftrightarrow$
$S_{ABCD } = \sqrt{18.15.9.12}.sin(\frac{\beta}{2} + \frac{\delta}{2})$
[tex]S_{ABCD } = 54\sqrt{10}.sin(\frac{\beta}{2} + \frac{\delta}{2})[/tex]
От $\triangle OMD \rightarrow \frac{r}{DM} = tg\frac{\delta}{2} \Leftrightarrow tg\frac{\delta}{2} = \frac{r}{2}$
$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{sin\displaystyle\frac{\delta}{2}}{cos\displaystyle\frac{\delta}{2}} = \displaystyle\frac{r}{2} \\ sin^{2}\displaystyle\frac{\delta}{2} + cos^{2}\displaystyle\frac{\delta}{2} = 1\end{array}...\Rightarrow cos\displaystyle\frac{\delta}{2} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{r^{2} + 4}} , sin\displaystyle\frac{\delta}{2} = \displaystyle\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 4}}$
От $\triangle OLB \rightarrow tg\displaystyle\frac{\beta}{2} = \displaystyle\frac{r}{LB} \Leftrightarrow tg\displaystyle\frac{\beta}{2} = \displaystyle\frac{r}{8}$
Аналогично както за $\frac{\delta}{2}$ получаваме $cos\frac{\beta}{2} = \frac{8}{\sqrt{r^{2}+ 64}} , sin\frac{\beta}{2} = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 64}}$
$sin(\frac{\delta}{2} + \frac{\beta}{2}) = sin\frac{\delta}{2}.cos\frac{\beta}{2} + sin\frac{\beta}{2}.cos\frac{\delta}{2} = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 4}}.\frac{2}{\sqrt{r^{2} + 4}} + \frac{r}{\sqrt{r^{2}+ 4}}.\frac{8}{\sqrt{r^{2} + 64}} $
$sin(\frac{\delta}{2} + \frac{\beta}{2}) = \frac{10r}{\sqrt{(r^{2} + 4)(r^{2} + 64)}}$
Така получаваме,че:
$S_{ABCD } = 54\sqrt{10}\frac{10r}{\sqrt{(r^{2} +4)(r^{2} + 64)}}$
Но $S_{ABCD } = p.r \Leftrightarrow S_{ABCD } = 27r$
Приравнявам и получавам уравнение спрямо $r$:
$54\sqrt{10}\frac{10r}{\sqrt{(r^{2} + 4)(r^{2} + 64)}} = 27r \Leftrightarrow 20\sqrt{10} = \sqrt{(r^{2} + 4)(r^{2} + 64)}....... \Leftrightarrow$
$r^{4} + 68r^{2} - 3744 = 0$
$r^{2} = t > 0$
$t^{2} + 68t - 3744 = 0 ,D= 19600,\sqrt{D} = 140 ,t_{1 ,2} = \frac{-68 \pm140}{2} ,t_{1 } = 36 ,t_{2 } <0$
$r^{2} = t = 36 \Rightarrow r_{1,2 } = \pm 6,r > 0 \Rightarrow r = 6$
За $r = 6 \rightarrow S_{ABCD } = 27.6 \Rightarrow S_{ABCD } = 162$

Скрит текст: покажи

Щом авторите не ни "дават" ъгъл ,ние сами си го намраме!

[skadevil]

Благодаря ви много за помощта

[skadevil]

Здравейте! Може ли някой да ми помогне малко със следната задача: В четириъгълника ABCD е вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N и AK=10, BL=8, CM=7, DN=2. Да се намери радиусът на окръжността и лицето на четириъгълника. Понеже АК, BL, CM, DN са допирателни те ще са равни на AN,DM,KB,CL и оттък може да се намери p=27 и да използваме S=p*r, но не мога да намеря лицето и оттам r.

За тази задача предлагам и други два начина, които са според мен по-лесни. За жалост ми е много трудно да напиша решенията чрез предоставените от форума символи и само чрез снимка мога да го покажа , но все пак ще ги пратя ако на някой са му полезни

[Гост]

Здравейте!
Трябва да намеря лицето на неправилен четириъгълник по дадени само страните му. Не е вписан в окръжност, нито е описан. Страните му са 25, 36, 40 и 47. Коя формула е най-удачно да използвам?
Благодаря!

[pal702004]

Здравейте!
Трябва да намеря лицето на неправилен четириъгълник по дадени само страните му. Не е вписан в окръжност, нито е описан. Страните му са 25, 36, 40 и 47. Коя формула е най-удачно да използвам?
Благодаря!

$E=mc^2$
Или всяка друга, която се сетиш - все същото. Ако питаш сериозно - измери някой диагонал.