Да се докаже, че около четириъгълника ABCD може да се опише

[skadevil]

В четириъгълника ABCD e вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N u KL = 11, LM=5, MN=2, NK=10 . Да се докаже, че около четириъгълника ABCD може да се опише окръжност и да се намерят сраните му. За да може да се опише окръжност около ABCD трябва сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, но не знам от къде може да дойде това. Забелязах, че се получават четири равнобедрени триъгълника [tex]\triangle[/tex]AKN [tex]\triangle[/tex]KBL [tex]\triangle[/tex]LCM [tex]\triangle[/tex]DNM (заради допирателните, но не знам помага ли това) Забелязах, че NL и MK са хорди.

[S.B.]

В четириъгълника ABCD e вписана окръжност, която се допира до страните AB, BC, CD, DA съответно в точките K, L, M, N u KL = 11, LM=5, MN=2, NK=10 . Да се докаже, че около четириъгълника ABCD може да се опише окръжност и да се намерят сраните му. За да може да се опише окръжност около ABCD трябва сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, но не знам от къде може да дойде това. Забелязах, че се получават четири равнобедрени триъгълника [tex]\triangle[/tex]AKN [tex]\triangle[/tex]KBL [tex]\triangle[/tex]LCM [tex]\triangle[/tex]DNM (заради допирателните, но не знам помага ли това) Забелязах, че NL и MK са хорди.

Без заглавие - 2020-09-04T121315.793.png (337.38 KiB) Прегледано 705 пъти

1)Ще намерим радиуса на вписаната в $ABCD$ окръжност:
Четириъгълникът $KLMN$ е вписан [tex]\Rightarrow \angle NKL + \angle LMN = 180^\circ[/tex]
За $\triangle NKL$ и $\triangle LMN$ прилагам Косинусова теорема , като $\angle NKL = \varphi , \angle LMN = 180^\circ - \varphi$
$NL^{2} = NK^{2} + LK^{2} - 2.NK.LK.cos\varphi \Leftrightarrow NL^{2} = 10^{2} + 11^{2} - 2.10.11.cos\varphi \Rightarrow NL^{2} = 221 - 220.cos\varphi$
$NL^{2} = NM^{2} + LM^{2} - 2.NM.LM.cos(180^\circ - \varphi) \Leftrightarrow NL^{2} = 2^{2} + 5^{2} + 2.2.5.cos\varphi \Rightarrow NL^{2}= 29 + 20.cos\varphi$
Приравнявам и получавам : $221 - 220.cos\varphi = 29 + 20.cos\varphi \Leftrightarrow 240.cos\varphi = 192 \Rightarrow$
$cos\varphi= \frac{4}{5} $ съответно $sin\varphi = \frac{3}{5} , NL^{2} = 221 - 220.\frac{4}{5} = 45 \Rightarrow NL = 3\sqrt{5}$
За $\triangle NKL$ прилагам Синусова теорема : $\displaystyle\frac{NL}{sin\varphi} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{\displaystyle\frac{3}{5}} = 2R \Rightarrow R = \frac{5\sqrt{5}}{2}$
2)Ще намерим ъглите на $ABCD$:
Около всеки от четириъгълниците $AKON , BKOL , CLOM ,DNOM$ ,(където т.$O$ е център на вписаната окръжност) може да се опише окръжност,защото:
За $AKON \rightarrow OK\bot AB , ON\bot AD$ (като радиуси към допирателните) $\Rightarrow \angle NAK + \angle KON = 180^\circ$
Същото се отнася и за останалите 3 четириъгълника.
За $\triangle KON$ прилагам Косинусова теорема: $KN^{2} = 2R^{2} - 2R^{2}.cos\angle KON \Rightarrow cos\angle KON = - \frac{3}{5}$
$\angle KAN = \alpha = (180^\circ - \angle KON) \Rightarrow cos\alpha = \frac{3}{5}$ съответно $sin\alpha = \frac{4}{5}$
В четириъгълника $OLCM $ аналогично прилагам Косинусова теорема за $\triangle LOM$ и намирам,че $cos \angle LOM = \frac{3}{5}$
$cos\gamma = cos(180^\circ - \angle LOM) = -\frac{3}{5}$ съответно $sin\gamma = \frac{4}{5}$
$sin(\alpha + \gamma) = sin\alpha.cos\gamma + sin\gamma.cos\alpha = \frac{4}{5}.(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5}. \frac{3}{5} = 0$
$sin(\alpha + \gamma) = 0 \Rightarrow \alpha + \gamma = 180^\circ \Rightarrow ABCD$ може да бъде вписан в окръжност
За останалите 2 ъгъла - $\beta$ и $\delta$ по същия начин намирам,че $cos\beta = \frac{234}{250} , cos\delta = - \frac{234}{250}$
Намиране на страните на четириъгълника:
$AK = AN $
За $\triangle AKN$ прилагам Косинусова теорема и намирам $AK = AN = \frac{10\sqrt{5}}{2}$
$BK = BL $
За $\triangle BKL$ прилагам Косинусова теорема и намирам $BK = BL = \frac{55\sqrt{5}}{4}$
$CL = CM $
За $\triangle LCM$ прилагам Косинусова теорема и намирам $LC = CM = \frac{5\sqrt{5}}{2}$
$DM = DN$
За $ \triangle DMN$ прилагам Косинусова теорема и намирам $DM = DN = \frac{5\sqrt{5}}{11}$
За страните се получава:
$AB = AK + KB = \frac{10\sqrt{5}}{2} + \frac{55\sqrt{5}}{4} = \frac{75\sqrt{5}}{4}$
$BC = BL + LC = \frac{55\sqrt{5}}{4} + \frac{5\sqrt{5}}{2} = \frac{65\sqrt{5}}{4}$
$CD = CM + MD = ........$
$DA = DN + NA = .........$

Скрит текст: покажи

Не гарантирам,че не съм оплела сметките някъде,но мисля,че идеята е ясна

[skadevil]

Много ти благодаря, S.B!!! Много подробно и добро обяснение на задачата, за което съм изключително благодарен . Мерси, че си отделила време! Само да кажа, че аз получих \displaystyle cos\beta = \frac{117}{125} , cos\delta = - \frac{117}{125}

[S.B.]

Много ти благодаря, S.B!!! Много подробно и добро обяснение на задачата, за което съм изключително благодарен . Мерси, че си отделила време! Само да кажа, че аз получих $\displaystyle cos\beta = \frac{117}{125} , cos\delta = - \frac{117}{125}$

То е същото,аз просто не съм съкратила дробта:
[tex]\displaystyle\frac{234}{250} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{234}{2}}{\displaystyle\frac{250}{2}} = \displaystyle\frac{117}{125}[/tex]

[skadevil]

Да! А да те питам тези чертежи с някаква програма ли ги правиш ?

[S.B.]

Да! А да те питам тези чертежи с някаква програма ли ги правиш ?

Използвам GeoGebra