В ABCD може да се впише окръжност

[skadevil]

В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност и диагоналът AC разполовява лицето му.
а) Да се докаже, че АВ = AD и CB = CD
б) Да се намерят страните на четириъгълника, ако AC= 6[tex]\sqrt{2}[/tex] , BD = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] и радиусът на окръжността е r =1.

а) Sabc= 1/2 *AC * BH
Sacd= 1/2 *AC * DH1
DH и DH1 са височини към диагонала AC в тези два триъгълника \Rightarrow DH1= BH , но не знам дали това помага

б) S abcd =(a+b+c+d)/2 * r \Rightarrow S abcd= b+d или a+c ( a+c=b+d вписана окръжност)

[skadevil]

В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност и диагоналът AC разполовява лицето му.
а) Да се докаже, че АВ = AD и CB = CD
б) Да се намерят страните на четириъгълника, ако AC= 6[tex]\sqrt{2}[/tex] , BD = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] и радиусът на окръжността е r =1.

а) Sabc= 1/2 *AC * BH
Sacd= 1/2 *AC * DH1
DH и DH1 са височини към диагонала AC в тези два триъгълника \Rightarrow DH1= BH , но не знам дали това помага

б) S abcd =(a+b+c+d)/2 * r \Rightarrow S abcd= b+d или a+c ( a+c=b+d вписана окръжност)

Ето го решението на задачата, ако на някой му трябва

[peyo]

В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност и диагоналът AC разполовява лицето му.
а) Да се докаже, че АВ = AD и CB = CD

Да пробваме да решим а) само с думи без формули.

Ако диагонала AC разполовява и вписаната окръжност, то тогава левия триъгълник е симетричен на десния триъгълник спрямо този диагонал, защото лявата окръжност е симетрична на дясната и така триъгълника които допира лявата е симетричен на десния и от там съответните им страни са симетрични и еднакви както се иска АВ = AD и CB = CD.

Остава само да докажем, че диагонала AC винаги разполовява вписаната окръжност. Да предположим, че диагонала не разполовява вписаната окръжност а например лявата страна където е т. B е по-малка. Тогава т. В ще е по-близо то правата АС, защото от А и С ще имаме по остри ъгли отколкото към D. Но тогава височината към т. B ще е по малка отколкото към т. D, което ше направи единия триъгълник по малък от другия и стигнахме до противоречие, с което доказахме, че диагонала трябва да разполови и окъжността.