ABCD c взаимно перпендикулярни диагонали

[skadevil]

В четириъгълника ABCD c взаимно перпендикулярни диагонали е вписана окръжност с радиус r и около него е описана окръжност с радиус R. Да се намери лицето на четириъгълника.

[Гост]

Ако решиш b) на задачата по-долу - ще имаш алгоритъм и за решението на тази задача.
viewtopic.php?f=93&t=25890#p104233

[Евва]

Знаеш ли отговора ?

[skadevil]

Знаеш ли отговора ?

Не и нямам и на идея как ще се реши

[S.B.]

В четириъгълника ABCD c взаимно перпендикулярни диагонали е вписана окръжност с радиус r и около него е описана окръжност с радиус R. Да се намери лицето на четириъгълника.

Без заглавие - 2020-09-09T170559.151.png (271.49 KiB) Прегледано 1037 пъти

[tex]AC = d_{2 } , CD = d_{1 } , AC \bot BD , AC\cap DB = т.O[/tex],която съм пропуснала да отбележа на чертежа
$\triangle COB$ е правоъгълен и ако $\angle OCB = \alpha \Rightarrow \angle OBC = 90^\circ - \alpha$
$\triangle AOB$ е правоъгълен и ако $\angle BAO = \beta \Rightarrow \angle OBA = 90^\circ - \beta$
Прилагам Синусова теорема последователно:
За $\triangle ABC \rightarrow \frac{a}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R.sin\alpha \Rightarrow a^{2} = 4R^{2}.sin^{2}\alpha$

За $\triangle DBC \rightarrow \frac{c}{sin(90^\circ - \alpha)}= 2R \Rightarrow c = 2R.cos\alpha \Rightarrow c^{2} = 4R^{2}.cos^{2}\alpha$

За $\triangle ABC \rightarrow \frac{b}{sin\beta} = 2R \Rightarrow b = 2R.sin\beta \Rightarrow b^{2} = 4R^{2}.sin^{2}\beta$

ЗА $\triangle ABD \rightarrow \frac{d}{sin(90^\circ - \beta)} = 2R \Rightarrow d = 2R.cos\beta \Rightarrow d^{2} = 4R^{2}.cos^{2}\beta$

За сумата от квадратите на страните получавам:

$a^{2} + c^{2} + b^{2} + d^{2} = 4R^{2}(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha + sin^{2}\beta + cos^{2}\beta) \Leftrightarrow$

$a^{2} + c^{2} + b^{2} + d^{2} = 8R^{2} \Leftrightarrow$

$(a + c)^{2} - 2ac + (b + d)^{2} - 2bd = 8R^{2} \Leftrightarrow$

$(a + c)^{2} + (b + d)^{2} - 2(ac + bd) = 8R^{2}$

$a + c = b + d = p$ (в четириъгълника е вписана окръжност) , $ac + bd = d_{1 }.d_{2 }$ ( според Птоломей)

Тогава $2p^{2} - 2d_{1 }d_{2 } = 8R^{2} \Leftrightarrow p^{2} - d_{1 }.d_{2 } - 4R^{2} = 0$

$S = p.r \Rightarrow S^{2} = p^{2}r^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{S^{2}}{r^{2}}$

$S = \frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}.sin90^\circ \Rightarrow d_{1 }d_{2 } = 2S$

$p^{2} - d_{1 }.d_{2 } - 4R^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{S^{2}}{r^{2}} - 2S -4R^{2} = 0 \Leftrightarrow$

$S^{2} - 2r^{2}S -4r^{2}R^{2} = 0 , D = 4r^{2}(r^{2} + 4R^{2})$

$S_{1,2 } = \frac{2r^{2} \pm 2r\sqrt{r^{2} + 4R^{2}}}{2} ,S_{2 }< 0 ,S_{1 }>0$
$$ S = S_{1 }= r^{2} + r\sqrt{r^{2} + 4R^{2}}$$