Средна отсечка в трапец

[Viki127]

Здравейте! Нова съм тук и тепърва започвам да се уча как се работи с този форум. Имам затруднения с една задачка и се надявам да ми помогнете. Благодаря ви предварително!
Даден е трапец ABCD (AB||CD) с диагонали AC и BD. Точките P и Q са средите съответно на AC и BD. Ако AB=12 см и CD=PQ, намерете CD.

[Nathi123]

Нека m е права през точка P успоредна на CD , тогава m пресича AD в т. N и AN=ND ( от триъг. ACD), аналогично m пресича BD в т. Q'и BQ'= Q'D ,значи т. Q'=Q ( от триъг. ABD ); m пресича ВС в т. М и ВМ = СМ .Нека CD =x .От триъг. ACD [tex]\Rightarrow NP=\frac{CD}{2}=\frac{x}{2};[/tex]
[tex]QM=\frac{CD}{2}=\frac{x}{2} ,(\triangle BCD) ;MN=\frac{1}{2}(AB+CD)[/tex]-средна отсечка в трапеца ABCD.
[tex]\Rightarrow MN=\frac{1}{2}(12+x)=2.\frac{x}{2}+PQ[/tex] ; MN = NP+PQ+ QM ; по условие PQ=CD=x.
[tex]\Rightarrow\frac{1}{2}(12+x)=x+x\Leftrightarrow 12+x=4x\Leftrightarrow x=3\Rightarrow CD=3[/tex].