Решаване на успоредник задача 11 клас

[xIskren]

Един от диагоналите на успоредник има дължина d и образува двете съседни страни ъгли α и β. Намерете лицеот на успоредника.

[Евва]

ABCD-успоредник,AC=d,[tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\beta[/tex] .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?
Задачата се решава лесно с формулата за намиране на лице на триъгълник
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AC^{2}.sin(CAB).sin(BCA)}{2sin(ABC)}[/tex] (1)т.е.

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{d^{2}.sin\alpha.sin\beta}{2sin[ 180^\circ-(\alpha+\beta) ]}[/tex]=[tex]\frac{d^{2}.sin\alpha.sin\beta}{2sin(\alpha+\beta)}[/tex]

Скрит текст: покажи

Решението на зад.е кратко.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=2[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{d^{2}.sin\alpha.sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}[/tex]
__________________________________________________________________________________________
По-трудно е доказването на формулата (1) ,която в нашия случай (в тази задача) придобива вида
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{d^{2}.sin\alpha.sin\beta}{2sin\gamma}[/tex] ([tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\gamma[/tex])
Нека т.Н лежи на правата ВС така,че [tex]\angle[/tex]АНС=90[tex]^\circ[/tex] .
Нека т.Р лежи на правата АВ така.че [tex]\angle[/tex]АРС=90[tex]^\circ[/tex] .
Да отбележим CP=[tex]h_{1 }[/tex],AH=[tex]h_{2 }[/tex],AB=a,BC=b .
Доказателство:
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{bh_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{h_{2 }}{\frac{2}{b}}[/tex]=[tex]\frac{h_{1 }.h_{2 }}{\frac{2h_{1 }}{b}}[/tex]=[tex]d^{2}[/tex].[tex]\frac{\frac{h_{1 }.h_{2 }}{d.d}}{2sin(PBC)}[/tex]=[tex]d^{2}[/tex].[tex]\frac{\frac{h_{1 }}{d}.\frac{h_{2 }}{d}}{2sin(180^\circ-\gamma)}[/tex]=[tex]\frac{d^{2}.sin\alpha.sin\beta}{2sin\gamma}[/tex]

[Гост]

В успоредник ABCD
AB =8
AD =5
<BAD= 60°.
Намерете:
Диагоналите AC и BD
височини ha и hb
Радиусите R1 иR2 на описаните около триъгълника ABC и ABD окръжности.