Правоъгълник

[Гост]

Здравейте! Нуждая от решението на следната задача:

Диагоналите на правоъгълник ABCD със страни AB = 4 , AD = 2 се пресичат в точка O и M и N са средите съответно на DO и OC. Намерете дължините на AM и BN и ъгъла между тях. Следвайте алгоритъма:

1) Въведете подходяща* векторна база и определете скаларните произведения на векторите от базата.

2) Изразете AM и BN чрез базата.

3) Намерете дължините на AM и BN .

4) Намерете косинуса на ъгъла между AM и BN .

* Теоретично всеки два линейно независими вектора могат да служат за база и думата "подходяща" е неопределено понятие. Но тук става въпрос за практическа задача и изборът на два перпендикулярни вектора е най-подходящ

Ще ви бъда много благодарен ако помогнете

[Nathi123]

Нека [tex]\vec{AB}=\vec{a} ; \vec{AD}=\vec{b}\Rightarrow\vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=0;\vec{AD}=\vec{b};\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{a}+\vec{b}.[/tex]
[tex]\vec{AO}=\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\Rightarrow \vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{AO}+\vec{AD})[/tex]
[tex]\Rightarrow AM=\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{a}\Rightarrow \vec{AM}^{2}=\frac{a}{b}\frac{9}{16}\vec{b}^{2}+2.\frac{3}{16}\vec{a}\vec{b}+\frac{1}{16}\vec{a}^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \vec{AM}^{2}=\frac{13}{4}\Rightarrow|\vec{AM}|=\frac{\sqrt{13}}{2} ; \vec{BD}=\frac{1}{2}(\vec{AD}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{BN}=\frac{1}{2}(\vec{BC}+\vec{BO})=\frac{3}{4}\vec{b}-\frac{1}{4}\vec{a}\Rightarrow \vec{BN}^{2}=\frac{13}{4}\Rightarrow |\vec{BN}|=\frac{\sqrt{13}}{2}[/tex]
[tex]\vec{AM}.\vec{BN}=|\vec{AM}|.|\vec{BN}|cos\angle (\vec{AM},\vec{BN})\Leftrightarrow[/tex]
[tex](\frac{3\vec{b}}{4}+\frac{\vec{a}}{4})(\frac{3\vec{b}}{4}-\frac{\vec{a}}{4})=\frac{13}{4}cos\angle (\vec{AM},\vec{BN})[/tex]
[tex]\frac{9}{16}\vec{b}^{2}-\frac{1}{16}\vec{a}^{2}=\frac{13}{4}cos\angle (\vec{AM},\vec{BN})\Leftrightarrow \frac{5}{4}=\frac{13}{4}cos\angle (\vec{AM},\vec{BN})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos\angle (\vec{AM},\vec{BN}) = \frac{5}{13}[/tex].