Четириъгълник

[Гост]

Около окръжност е описан четириъгълник, две съседни страни на който са 5 и 12 и образуват прав ъгъл. Намерете другите две страни на четириъгълника ако ъгълът между тях е 60 градуса.

[KOPMOPAH]

Нека приемем, че $AB=5$, $BC=12$ и $\measuredangle ABC=90^\circ$. Тогава $AC=\sqrt{5^2+12^2}=13$ по Питагорова теорема.

След като четириъгълникът е описан, значи $$AB+CD=BC+AD \Rightarrow 5+CD=12+AD~~~~~(1)$$
Пo косинусова теорема за $\triangle ACD$ имаме $$13^2=AD^2+CD^2-2AD.CD.\cos 60^\circ\Rightarrow AD^2+CD^2-AD.CD=169~~(2)$$
От двете равенства $(1)$, $(2)$ съставяме система$$\begin{array}{|l}CD-AD = 7 \\ AD^2+CD^2-AD.CD=169 \end{array}$$ и я решаваме.

Скрит текст: покажи

$CD=15, AD=8$