Диагонали

[Гост]

Здравейте,те мога да се справя с тази задача.
Диагоналите на квадрат ABCD се пресичат в т.O.
M и N са средите съответно на OD и BC.Докажете,че [tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен равнобедрен.

[Какаши Сенсей]

Разглежда се триъгълник АВС, от това че четириъгълника е квадрат, следва че
1) АВ = ВС
2) [tex]\angle[/tex] АВС = 90 [tex]^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] АВС е равнобедрен правоъгълен .

[mail_dinko]

Според мен има грешка в усл. и искат да се док., че AMN е правоъгълен равнобедрен
[tex]AB=BC=CD=DA=a[/tex]
По питагоровата теорема се намира диагонал [tex]d=BD= a \sqrt {2} \Rightarrow OD = \frac {d}{2}= \frac {a \sqrt {2}}{2}= AO[/tex]
[tex]OM = \frac {OD}{2} = \frac {a \sqrt {2}}{4}[/tex]
В [tex]\triangle AOM[/tex] намираме [tex]AM = \sqrt {OM^2 + OA ^2}= \sqrt {(\frac {a \sqrt {2}}{4})^2 + ( \frac {a \sqrt {2}}{2}) ^2}= \sqrt {\frac {2a^2+ 8a^2}{16}} = \frac {a \sqrt {10}}{4}[/tex]
[tex]\boxed {AM = \frac {a \sqrt {10}}{4}}[/tex]

Разгл. [tex]\triangle ABN[/tex]
[tex]AB=a; BN = \frac {a}{2}[/tex]
[tex]AN = \sqrt {AB^2 + BN^2}= \sqrt {a^2 + (\frac {a}{2})^2} = \frac {a \sqrt {5}}{2}[/tex]
[tex]\boxed {AN = \frac {a \sqrt {5}}{2}}[/tex]

Построяваме [tex]ON = \frac {a}{2}[/tex]. Тя се явява симетрала на основата в раноб. [tex]\triangle BCO \Rightarrow \angle CON = 45 ^\circ[/tex] (ъглополовяща)
[tex]\angle MON = \angle MOC + \angle CON = 90^\circ + 45 ^\circ = 135 ^\circ[/tex]
Прилага се косинусова теорема за [tex]\triangle MON[/tex]
[tex]MN^2 = MO^2 + ON ^2 - 2. MO. ON. cos 135 ^\circ[/tex]
[tex]MN^2 = ( \frac {a \sqrt {2}}{4})^2 + ( \frac {a}{2} ) ^2 - \cancel {2}. \frac {a . \cancel {\sqrt {2}}}{4} . \frac {a}{\cancel {2}}. (- \frac {\cancel { \sqrt {2}}}{\cancel {2}})[/tex]
[tex]MN^2 = \frac {2a^2}{16} + \frac {a^2}{4} + \frac {a^2}{4}= \frac {a^2}{8} + 2. \frac {a^2}{4} = \frac {a^2}{8} + 4. \frac {a^2}{8} = \frac {5a^2}{8}[/tex]
[tex]MN = \frac {a \sqrt {5}}{2\sqrt {2}} . \frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}[/tex]
[tex]\boxed {NM = \frac {a \sqrt {10}}{4}}[/tex]

От трите страни намираме, че е равнобедрен. След непосредствено заместване проверяваме дали е изпълнена питагоровата теорема (т.е. дали равенството е тъждество) [tex]MN^2 + AM^2 = AN^2[/tex]
[tex]2 . ( \frac {a \sqrt {10}}{4})^2 = ( \frac {a \sqrt {5}}{2})^2 \Leftrightarrow 2. \frac {10 a^2}{16} = \frac {5a^2}{4}[/tex]

Триъгълникът е правоъгълен

[Гост]

Съжалявам,грешката е моя.
Да се докаже,че [tex]\triangle[/tex]AMN е равнобедрен правоъгълен.

[Гост]

Благодаря,перфектно разяснена.