Пресечните точки на ъглополовящите на ъглите на успоредник

[Гост]

Да се докаже, че пресечните точки на ъглополовящите на ъглите на успоредник са върхове на правоъгълник.

[S.B.]

Да се докаже, че пресечните точки на ъглополовящите на ъглите на успоредник са върхове на правоъгълник.

Без заглавие - 2021-05-20T210902.787.png (213.15 KiB) Прегледано 710 пъти

Нека [tex]l_{A }, l_{B } , l_{C }, l_{D }[/tex] са ъглополовящите съответно на [tex]\angle A, \angle B , \angle C , \angle D[/tex]
[tex]l_{A } \cap l_{B } = P[/tex]

За [tex]\triangle ABP \rightarrow \angle PAB + \angle ABP + \angle APB = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle PAB = \frac{1}{2} \angle A, \angle PBA = \frac{1}{2} \angle B[/tex]
[tex]\angle A[/tex] и [tex]\angle B[/tex] са прилежащи ъгли
[tex]\Rightarrow \angle A + \angle B = 180 ^\circ \Rightarrow \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 90 ^\circ \Rightarrow \angle PAB + \angle PBA = 90 ^\circ \Rightarrow \angle APB = 90 ^\circ[/tex]
Аналогично се доказва,че [tex]\angle DMC = 90 ^\circ , \angle PQM = \angle AQD = 90 ^\circ[/tex]
Четириъгълник с 3 прави ъгъла е правоъгълник [tex]\Rightarrow MNPQ[/tex] е правоъгълник