Ромб

[Гост]

Даден е ромб ABCD с ъгъл A=60°. На страните AB и BC са отбелязани точки M и T така, че AM=BT. Да се докаже, че [tex]\triangle[/tex]MDT е равностранен.

[S.B.]

Даден е ромб ABCD с ъгъл A=60°. На страните AB и BC са отбелязани точки M и T така, че AM=BT. Да се докаже, че [tex]\triangle[/tex]MDT е равностранен.

Без заглавие - 2021-05-26T225251.404.png (284.59 KiB) Прегледано 357 пъти

За [tex]\triangle AMD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MD^{2} = AM^{2} + AD^{2} - 2.AM.AD \cos 60 ^\circ = (a - x)^{2} + a^{2} - 2(a-x).a. \frac{1}{2} = ....= a^{2} - ax + x^{2}[/tex]
$$MD = \sqrt{ a^{2} - ax + x^{2} } $$
За [tex]\triangle MBT[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MT^{2} = MC^{2} + CT^{2} - 2.MC.CT.\cos 120 ^\circ = x^{2} + (a - x)^{2} + 2.x.(a - x). \frac{1}{2} = ....= a^{2} - ax + x^{2}[/tex]
$$MT = \sqrt{ a^{2} - ax + x^{2} } $$
За [tex]\triangle TCD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]TD^{2} = TC^{2}+ DC^{2} - 2.TC.DC.\cos 60 ^\circ = x^{2} + a^{2} - 2ax. \frac{1}{2} = a^{2} - ax + x^{2}[/tex]
$$TD = \sqrt{ a^{2} - ax + x^{2} } $$
[tex]MD = MT = TD \Rightarrow \triangle MTD[/tex] е равностранен