Успоредник - лице

[mimetol]

В успореникът ABCD диагоналът AC=c, а BD = √3/√2 c. Да се намери Sabcd, ако ъгъл BAС = 60

[Гост]

dot.PNG (40.27 KiB) Прегледано 415 пъти

[S.B.]

В успореникът ABCD диагоналът AC=c, а BD = √3/√2 c. Да се намери Sabcd, ако ъгъл BAС = 60

Без заглавие - 2021-06-04T135727.287.png (246.55 KiB) Прегледано 388 пъти

Подлагаш на транслация диагонала $DB$ с вектор [tex]\vec{AB}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow M[/tex]
[tex]S_{AMC } = S_{ABC } + S_{BCM } = 2 S_{ABC } = S_{ABCD }[/tex]
($CB$ е медиана и разделя получения [tex]\triangle AMC[/tex] на два равнолицеви триъгълника [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BCM[/tex])
Тогава [tex]S_{ABCD } = 2b.c.\sin 60 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AMC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]CM^{2} = CA^{2} + AM^{2} - 2.CA.AM\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow \frac{3}{2} c^{2} = c^{2} + 4 b^{2} - 4bc. \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{ c^{2} }{2} = - 2cb + 4 b^{2} \Leftrightarrow[/tex]
(Получава се уравнение от втора степен спрямо $b$)

[tex]8 b^{2} - 4cb - c^{2} = 0 , D = 16 c^{2}+ 32 c^{2} = 48 c^{2} , \sqrt{D} = 4c \sqrt{3}[/tex]

[tex]b_{1 } = \frac{4c - 4c \sqrt{3} }{16} = \frac{4c(1 - \sqrt{3}) }{16} = \frac{c(1 - \sqrt{3}) }{4} < 0[/tex]

[tex]b_{2 } = \frac{c(1 + \sqrt{3}) }{4}> 0[/tex] или [tex]b = \frac{c(1 + \sqrt{3} )}{4}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = 2bc\sin 60 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = 2 c. \frac{c(1 + \sqrt{3}) }{4} \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = \frac{ c^{2}(3 + \sqrt{3}) }{4} $$

[mimetol]

Благодаря