Успоредник

[Евва]

В успоредника ABCD точката К е средата на ВС ,а М - средата на CD .
Да се намери AD , ако АК=6 см. , АМ =3 см. и [tex]\angle[/tex]КАМ=60[tex]^\circ[/tex] .

Скрит текст: покажи

Отг. 4 см.

[nikola.topalov]

Въвеждаме базата [tex]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{b}[/tex]. Нека
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{p}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{q}[/tex]. Тогава
[tex]\begin{array}{|l} 2\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q} \\ 2\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{q}+\overrightarrow{p} \end{array}[/tex]
От горната система намираме [tex]\overrightarrow{q}=\dfrac{2}{3}(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})[/tex], тоест за дължината на самия вектор имаме
[tex]|\overrightarrow{q}|=\dfrac{2}{3}\sqrt{4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}}[/tex]
Отделно пресмятаме [tex]\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=9[/tex], [tex]\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=36[/tex] и [tex]\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=9[/tex], откъдето окончателно получаваме [tex]|\overrightarrow{q}|=4[/tex].

[Евва]

Мисля ,че са разменени местата на 2[tex]\vec{a}[/tex] и 2[tex]\vec{b}[/tex] в системата .

[nikola.topalov]

Мисля ,че са разменени местата на 2[tex]\vec{a}[/tex] и 2[tex]\vec{b}[/tex] в системата .

Имаме [tex]\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})[/tex], където [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{p}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}[/tex]. Оттук изразяваме [tex]2\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}[/tex].

[Евва]

(Разглеждам [tex]\triangle[/tex]AMD) [tex]\vec{AM} +\vec{MD} =\vec{AD}[/tex] т.е.
[tex]\vec{a}+( -\vec{DM})=\vec{q}[/tex]
[tex]\vec{a} - \frac{ \vec{p} }{2}[/tex]=[tex]\vec{q}[/tex] |.2

2[tex]\vec{a}=2\vec{q}+\vec{p}[/tex]

Аз получавам 2[tex]\vec{a} =2\vec{q}+\vec{p}[/tex] .

[nikola.topalov]

(Разглеждам [tex]\triangle[/tex]AMD) [tex]\vec{AM} +\vec{MD} =\vec{AD}[/tex] т.е.
[tex]\vec{a}+( -\vec{DM})=\vec{q}[/tex]
[tex]\vec{a} - \frac{ \vec{p} }{2}[/tex]=[tex]\vec{q}[/tex] |.2

2[tex]\vec{a}=2\vec{q}+\vec{p}[/tex]

Аз получавам 2[tex]\vec{a} =2\vec{q}+\vec{p}[/tex] .

Защо [tex]\overrightarrow{DM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]?

[S.B.]

В успоредника ABCD точката К е средата на ВС ,а М - средата на CD .
Да се намери AD , ако АК=6 см. , АМ =3 см. и [tex]\angle[/tex]КАМ=60[tex]^\circ[/tex] .

Скрит текст: покажи

Отг. 4 см.

Без заглавие - 2021-10-08T102831.758.png (299.08 KiB) Прегледано 518 пъти

За [tex]\triangle AKM[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MK^{2 } = AK^{2 } + AM^{2 } -2.AK.AM\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow MK^{2 } = 36 + 9 - 2.3.6. \frac{1}{2} \Rightarrow MK = 3 \sqrt{3}[/tex]
[tex]\cos \angle AMK = \frac{ AK^{2 } - AM^{2 } - MK^{2 } }{- 2,AM.MK} \Leftrightarrow \cos \angle AMK = \frac{36 -9 -27}{- 2.3.3 \sqrt{3} } \Rightarrow \cos \angle AMK = 0 \Rightarrow \angle AMK = 90 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AMK \rightarrow \angle MKA = 30 ^\circ[/tex]
Нека т.$N$ е среда на $AB$ , а т.[tex]K_{1 }[/tex] е среда на $AD$

[tex]\begin{cases} AN = MC \\ AN || MC \end{cases} \Rightarrow ANMD[/tex] е успоредник, $NM || AM,NM = AM = 3$

[tex]AM \bot MK \Rightarrow NM \bot MK[/tex]

$MK$ е средна отсечка в [tex]\triangle DBC \Rightarrow MK || DB[/tex]
[tex]N K_{1 }[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle DBA \Rightarrow N K_{1 }|| DB[/tex]
правата [tex]MA \begin{cases} \bot DB \\ \cap DB = P_{1 } \\ \bot K_{1 }N \\ \cap K_{1 }N = Q_{1 } \end{cases}[/tex]

правата [tex]MN \begin{cases} \bot MK \\ \cap MK= Q \\ \bot DB \\ \cap DB = P \end{cases}[/tex]

[tex]\triangle DBA \cong \triangle DBC \Rightarrow CP = A P_{1 }[/tex] (като височини )
От [tex]\begin{cases} PQ = \displaystyle\frac{CP}{2} \\ A Q_{1 } = P_{1 } Q_{1 } = \displaystyle\frac{A P_{1 } }{2} \\PQ = M P_{1 } \end{cases} \rightarrow A Q_{1 } = Q_{1 } P_{1 } = M P_{1 } = \displaystyle \frac{1}{3}AM = 1[/tex]
В [tex]\triangle BPC[/tex] отсечката $PK$ е медиана към хипотенузата $BC$
[tex]\Rightarrow[/tex] $PK = CK$ ,[tex]\triangle PKQ \cong \triangle CKQ[/tex]( по катет и хипотенуза)
[tex]\Rightarrow \angle QKP = \angle QKC = 30 ^\circ \Rightarrow \angle PKC = 60 ^\circ \Rightarrow \triangle PKC[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle QCK = 60 ^\circ[/tex] , а [tex]\angle CBP = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ADB = \angle DBC[/tex] ( като кръстни ) [tex]\Rightarrow \angle ADB = 30 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle D P_{1 }A \rightarrow D P_{1 } = 2, \angle AD P_{1 } = 30 ^\circ \Rightarrow AD = 2.D P_{1 } \Rightarrow AD = 4[/tex]

[Евва]

Защо [tex]\vec{DM}= \frac{1}{2} \vec{AB}[/tex] ?

[tex]\vec{DM} = \frac{1}{2} \vec{DC}= \frac{1}{2} \vec{AB}[/tex]
Тук ползвахме ,че [tex]\vec{DC}=\vec{AB}[/tex] , защото :
" Ще казваме че два вектора са равни ,ако те са еднопосочни и имат равни дължини . " (8 клас)

[nikola.topalov]

Защо [tex]\vec{DM}= \frac{1}{2} \vec{AB}[/tex] ?

[tex]\vec{DM} = \frac{1}{2} \vec{DC}= \frac{1}{2} \vec{AB}[/tex]
Тук ползвахме ,че [tex]\vec{DC}=\vec{AB}[/tex] , защото :
" Ще казваме че два вектора са равни ,ако те са еднопосочни и имат равни дължини . " (8 клас)

Ох, разменил съм местата на точките [tex]M[/tex] и [tex]K[/tex]...