Да се намери отношението

[Евва]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец .
Лицето на четириъгълника с върхове допирните точки на страните на трапеца с окръжността е
[tex]\frac{3}{8}[/tex] от лицето на трапеца .
Да се намери отношението на основите на трапеца .

[Nathi123]

Нека к(О,r) - вписана в трапеца ABCD; AB=a;CD=b;AD=BC=c[tex]\Rightarrow a+b=2c \Leftrightarrow c= \frac{a+b}{2}[/tex]. Нека к[tex]\cap AB = P; k \cap CD=N;AD=BC[/tex]
[tex]\Rightarrow AP=BP= \frac{a}{2} ;CN=DN= \frac{b}{2}[/tex];k[tex]\cap BC=M \Rightarrow CN=CM= \frac{b}{2} ;k \cap AD=Q \Rightarrow DN=DQ= \frac{b}{2}[/tex];
PN[tex]\bot AB \Rightarrow PN \bot QM ; QM|| AB \Rightarrow S _{PMNQ }= \frac{1}{2}PN.QM= \frac{3}{8}. \frac{1}{2}(a+b).PN[/tex]
[tex]\Leftrightarrow QM=\frac{3}{8}. (a+b)[/tex].Построяваме CC[tex]_{1 }||AD ; CC _{1 } \cap QM=L \Rightarrow DC=QL=b; QM=b+LM[/tex]
[tex]\frac{LM}{BC _{1 } }= \frac{CM}{BC}; C _{1 } \in AB[/tex].Получаваме,че [tex]\frac{LM}{a-b}= \frac{ \frac{b}{2} }{ \frac{a+b}{2} } = \frac{b}{a+b}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow LM= \frac{(a-b).b}{a+b} \Rightarrow QM= \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow \frac{2ab}{a+b} = \frac{3(a+b)}{8} \Leftrightarrow3(a+b) ^{2 } =16ab[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3a ^{2 }-10ab+3b ^{2 }=0|:b ^{2 }; (\frac{a}{b}) ^{2 }=x;x>0 \Rightarrow 3 x^{2 }-10x+3=0 \Leftrightarrow x=3 \cup x = \frac{1}{3};a>b \Rightarrow[/tex]
x>1[tex]\Rightarrow \frac{a}{b}=3[/tex].