Успоредник 11 клас

[Гост]

много трудна задача
периметърът на успоредник е 90 см,единият от диагоналите му е 25 см,а лицето - 420 квадратни см. Намерете втория диагонал на успоредника

[Wiktor]

Задачата не е трудна, просто изисква мисъл.
Прилагам Ви чертеж към решението си

Нека търсеният диагонал да е AC.
Нека AB=CD=b; AD=BC=a
[tex]P=2AD+2AB \Rightarrow 2(AD+AB)=90 \Rightarrow a+b=45[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle ABD, \triangle BDC[/tex]
Тези два триъгълника имат равни страни [tex]\Rightarrow \triangle ABD \cong \triangle BDC \Rightarrow S_{ \triangle ABD } = S_{ \triangle BDC }[/tex]. В случая сборът от



лицата образува лицето на целия успоредник, оттук може да се затвърди следното: [tex]S_{ \triangle ABD} = \frac{S_{ABCD}}{2} = 210 cm^{2 }[/tex].

Разглеждаме [tex]\triangle ABD[/tex].
(От условието - нека BD е диагоналът със стойност 25 cm)
Неговият периметър е - [tex]P = AB+AD+BD \Rightarrow P = 70 cm \Rightarrow p = 35 cm[/tex]. Намерих полупериметъра на разглеждания триъгълник за да приложа херонова формула.

[tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
За да я приложа, ще използвам:
a = 45 - b
b = 45 - a
a+b=45
[tex]S_{ \triangle ABD} = 210 cm^{2 }[/tex]

[tex]210 = \sqrt{35*(35-45+a)(35-45+b)(35-25)} \Rightarrow 44100 = 350*(a-10)(b-10) \Rightarrow (a-10)(b-10) = 126 \Rightarrow ab-10a-10b+100=126 \Rightarrow ab-10(a+b)=26 \Rightarrow ab - 450 = 26 \Rightarrow ab = 476[/tex]

Образувам система с две неизвестни:
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 45 \\ ab=476 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a=45-b \\ b(45-b)=476 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} b^{2 }-45b+476=0 \\ a=45-b \end{array}[/tex]
От квадратното уравнение получавам, че [tex]b_{1 } = 28; b_{2 }=17[/tex]. Но който отговор и да избера, крайния резултат ще бъде един и същ. Ще избера [tex]b_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow a=17; b=28[/tex].

При успоредниците имахме едно свойство...:

[tex]2AD^{2 }+2 AB^{2 } = AC^{2 } + BD^{2 }[/tex]

Замествам, смятам и получавам, че:

[tex]AC = 39 cm.[/tex]

[Wiktor]

Чертежът.