Лице на успоредник

[Гост]

Опитвам се ,но нещо не става

[ammornil]

Публикували сте в тема, която не казва кой клас сте. Предлагам решение, което изисква познания по Тригонометрия. Числата са малко криви, но какво да се прави...

220206_002.png (22.26 KiB) Прегледано 406 пъти

Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната си точка. Нека [tex]ABCD, \begin{cases} AB \| DC;\ AB=DC \\ BC\|AD; BC=AD \end{cases},\ AC=37;\ BD=20;\ AB=25,5=\frac{50}{2}[/tex]
[tex]\ AC \cap BD =O \Rightarrow \begin{array}{l} AO=OC=\frac{37}{2} \\ BO=OD=10 \end{array}[/tex], [tex]\angle AOB= \angle COD = \theta[/tex]

[tex]\triangle ABO \rightarrow \ к.т. \ \rightarrow AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2.AO.BO.\cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta}=\frac{AO^{2}+BO^{2}-AB^{2}}{2.AO.BO}[/tex]
[tex]\cos{\theta}=\Large \frac{\frac{1369}{4}+\frac{400}{4}-\frac{2500}{4}}{2.\frac{37}{2}.10}=\frac{\frac{-731}{4}}{370}=\normalsize \frac{-17.43}{2.2.2.5.37}=-\frac{731}{1480} <0 \Rightarrow \theta[/tex]- тъп ъгъл, тоест успоредникът е наклонен в другата посока.

220206_003.png (21.91 KiB) Прегледано 406 пъти

Нека [tex]ABCD, \begin{cases} AB \| DC;\ AB=DC \\ BC\|AD; BC=AD \end{cases},\ AC=20;\ BD=37;\ AB=25,5=\frac{50}{2}[/tex]
[tex]\ AC \cap BD =O \Rightarrow \begin{array}{l} AO=OC=10 \\ BO=OD=\frac{37}{2} \end{array}[/tex], [tex]\angle AOB= \angle COD = \theta[/tex]

[tex]\sin{(180 ^\circ - \theta)}=\sin{\theta}=\sqrt{1-\cos^{2}{\theta}}=\sqrt{\frac{1480^{2}-731^{2}}{1480^{2}}}=\frac{\sqrt{1656039}}{1480}[/tex]

[tex]S_{_{ABCD}}=\frac{1}{2}.d_{1}.d_{2}.\sin{\theta}=\frac{1}{2}.37.20.\frac{\sqrt{1656039}}{1480}=\frac{370.\sqrt{1656039}}{4.370}=\frac{\sqrt{1656039}}{4} \approx 321,72 cm^{2}[/tex]

[Гост]

10 клас съм.А за задачата верният отговор пише, че е 306 см^2.

[ammornil]

10 клас съм.А за задачата верният отговор пише, че е 306 см^2.

Заместил съм грешно големините на диагоналите, но пак не се получава цяло число. (корекция по-горе)

[S.B.]

Без заглавие - 2022-02-06T164003.819.png (213.39 KiB) Прегледано 392 пъти

Още един поглед върху задачата:
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ , при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 } , \angle AOB = \angle AC B_{1 } = \varphi[/tex]
[tex]\triangle AC B_{1 }[/tex] е равнолицев на успоредника $ABCD$ (ЗАЩО?)
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \varphi = \frac{ A B_{1 } ^{2 } - AC^{2 } - B_{1 }C ^{2 } }{- 2.AC. B_{1 }C } \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{ 51^{2 } - 37^{2 } - 20^{2 } }{- 2.37.20} \Rightarrow \cos \varphi = - \frac{104}{185}[/tex]

[tex]\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^{2 } \varphi } \Leftrightarrow \sin \varphi = \sqrt{1 - \frac{10816}{34225} } = \sqrt{ \frac{ 9^{2 } . 17^{2 } }{ 185^{2 } } } \Rightarrow \sin \varphi = \frac{153}{185}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{A B_{1 }C } = \frac{AC. B_{1 }C }{2}\sin \varphi = \frac{37.20}{2}. \frac{153}{185} \Rightarrow S_{ABCD } = 306 cm^{2 }[/tex]

[ammornil]

Публикували сте в тема, която не казва кой клас сте. Предлагам решение, което изисква познания по Тригонометрия. Числата са малко криви, но какво да се прави...

220206_002.png

Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната си точка. Нека [tex]ABCD, \begin{cases} AB \| DC;\ AB=DC \\ BC\|AD; BC=AD \end{cases},\ AC=37;\ BD=20;\ AB=25,5=\frac{51}{2}[/tex]
[tex]\ AC \cap BD =O \Rightarrow \begin{array}{l} AO=OC=\frac{37}{2} \\ BO=OD=10 \end{array}[/tex], [tex]\angle AOB= \angle COD = \theta[/tex]

[tex]\triangle ABO \rightarrow \ к.т. \ \rightarrow AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2.AO.BO.\cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta}=\frac{AO^{2}+BO^{2}-AB^{2}}{2.AO.BO}[/tex]
[tex]\cos{\theta}=\Large \frac{\frac{1369}{4}+\frac{400}{4}-\frac{2601}{4}}{2.\frac{37}{2}.10}=\frac{\frac{-832}{4}}{370}=\normalsize \frac{-208}{370}=-\frac{104}{185} <0 \Rightarrow \theta[/tex]- тъп ъгъл, тоест успоредникът е наклонен в другата посока.

220206_003.png

Нека [tex]ABCD, \begin{cases} AB \| DC;\ AB=DC \\ BC\|AD; BC=AD \end{cases},\ AC=20;\ BD=37;\ AB=25,5=\frac{51}{2}[/tex]
[tex]\ AC \cap BD =O \Rightarrow \begin{array}{l} AO=OC=10 \\ BO=OD=\frac{37}{2} \end{array}[/tex], [tex]\angle AOB= \angle COD = \theta[/tex]

[tex]\sin{(180 ^\circ - \theta)}=\sin{\theta}=\sqrt{1-\cos^{2}{\theta}}=\sqrt{\frac{185^{2}-104^{2}}{185^{2}}}=\frac{153}{185}[/tex]

[tex]S_{_{ABCD}}=\frac{1}{2}.d_{1}.d_{2}.\sin{\theta}=\frac{1}{2}.37.20.\frac{153}{185}=306cm^{2}[/tex]

I have corrected my calculation error thanks to S.B.'s solution

[Гост]

Без заглавие - 2022-02-06T164003.819.png

Още един поглед върху задачата:
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ , при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 } , \angle AOB = \angle AC B_{1 } = \varphi[/tex]
[tex]\triangle AC B_{1 }[/tex] е равнолицев на успоредника $ABCD$ (ЗАЩО?)
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \varphi = \frac{ A B_{1 } ^{2 } - AC^{2 } - B_{1 }C ^{2 } }{- 2.AC. B_{1 }C } \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{ 51^{2 } - 37^{2 } - 20^{2 } }{- 2.37.20} \Rightarrow \cos \varphi = - \frac{104}{185}[/tex]

[tex]\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^{2 } \varphi } \Leftrightarrow \sin \varphi = \sqrt{1 - \frac{10816}{34225} } = \sqrt{ \frac{ 9^{2 } . 17^{2 } }{ 185^{2 } } } \Rightarrow \sin \varphi = \frac{153}{185}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{A B_{1 }C } = \frac{AC. B_{1 }C }{2}\sin \varphi = \frac{37.20}{2}. \frac{153}{185} \Rightarrow S_{ABCD } = 306 cm^{2 }[/tex]

А защо [tex]\triangle[/tex]AB1C и успоредника ABCD са равнолицеви

[S.B.]

А защо [tex]\triangle[/tex]AB1C и успоредника ABCD са равнолицеви

[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \angle AOB[/tex]

[tex]S_{A B_{1 } C} = \frac{AC. B_{1 }C }{2}.\sin \angle AC B_{1 }[/tex]

[tex]B_{1 }C = BD[/tex] защото при транслацията [tex]BD \rightarrow B_{1 } C[/tex]
[tex]\begin{cases} B B_{1 }||CD \\ BD ||C B_{1 } \end{cases} \Rightarrow B B_{1 }CD[/tex] е успоредник.(учи се в 7 и 8 клас)

[tex]\angle AC B_{1 } = \angle AOB[/tex] като съответни ъгли получени при пресичане на две успоредни прави с трета (учи се в 7 клас) [tex]\Rightarrow \sin \angle AC B_{1 } = \sin \angle AOB[/tex](учи се в 9 клас)

[mail_dinko]

Аз бих препоръчал Херонова ф-ла
[tex]S _{ABCD} = 4S _{\triangle AOB} = 4 \sqrt {p_{\triangle AOB}(p_{\triangle AOB}-AO)(p_{\triangle AOB}-AB)(p_{\triangle AOB}-BO)}[/tex]
[tex]p=\frac {P}{2}= \frac {25,5+18,5+10}{2}=27[/tex]
[tex]S _{ABCD} =4 \sqrt {27(27-18,5)(27-25,5)(27-10)} =4 \sqrt {3^3 .8,5.1,5.17}=4.3 \sqrt {3 .8,5.1,5.2.8,5}=12.8,5 \sqrt {3 .1,5.2}=36.8,15 = 306[/tex]