В окръжност е вписан трапец

[Гост]

Незнам откъде да започна

[Гост]

Отговорът трябва да бъде S=3/2R^2

[S.B.]

Без заглавие - 2022-02-13T123148.879.png (279.18 KiB) Прегледано 352 пъти

Преди всичко,щом е вписан в окръжност,този ртапец е равнобедрен.
[tex]\triangle ABC[/tex] е вписан в същата окръжност.
Нека [tex]CB = b ,CD = c,AB = a, CH \bot AB ,CH = h[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{CB}{\sin 45 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow CB = 2R. \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow b = R \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle HBC \rightarrow HB = \frac{b}{2} \Leftrightarrow HB = \frac{R \sqrt{2} }{2} , CH = b.\sin 60 ^\circ \Rightarrow h = \frac{R \sqrt{6} }{2}[/tex]
От [tex]\triangle AHC \rightarrow AH = HC \Rightarrow AH = \frac{R \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]AH = A H_{1 } + c \Leftrightarrow \frac{R \sqrt{6} }{2} = c + \frac{b}{2} \Leftrightarrow c = \frac{R \sqrt{6} }{2} - \frac{R \sqrt{2} }{2} \Rightarrow c = \frac{R \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3} - 1)[/tex]
[tex]AB = c + 2. \frac{b}{2} \Leftrightarrow a = \frac{R \sqrt{2} }{2}( \sqrt{3} - 1) + R \sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{R \sqrt{2} }{2} ( \sqrt{3} + 1)[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2} .CH \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{a + c}{2}.h \Leftrightarrow[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{R \sqrt{2}( \sqrt{3} + 1) + R \sqrt{2}( \sqrt{3}- 1) }{2} }{2}.\displaystyle \frac{R \sqrt{6} }{2} = \displaystyle \frac{R \sqrt{6} }{2}.\displaystyle \frac{R \sqrt{6} }{2} = \displaystyle \frac{ R^{2 }.6 }{4} \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = \frac{3}{2} R^{2 } $$

[ammornil]

220213_001.png (21.39 KiB) Прегледано 352 пъти

[tex]\angle BAC+\angle ADC=180^{\circ}[/tex] (прилежащи) [tex]\Rightarrow \angle ADC=120^{\circ}, \phantom{AA} \angle ABC + \angle ADC =180^{\circ}[/tex](вписан трапец) [tex]\Rightarrow \angle ABC=60^{\circ}[/tex]
[tex]\angle ABC=\angle BAC=60^{\circ} \Rightarrow[/tex]равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow\begin{cases} AD=BC \\ AC=BD \\ \angle BAC = \angle ABD =45^{\circ} \end{cases}[/tex]
[tex]AC \cap BD=F, \triangle AFB \rightarrow \angle BAF = \angle ABF =45^{\circ} \Rightarrow \angle AFB=90 ^{\circ} \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD.\sin{\angle AFB}=\frac{AC^{2}}{2}[/tex]

[tex]\angle ABC[/tex] -вписан [tex]\Rightarrow \widehat{ADC}=2\angle ABC=120^{\circ}, \phantom{AA} \angle AOC[/tex] -централен [tex]\Rightarrow \angle AOC = \widehat{ADC} =120^{\circ}[/tex]

[tex]\triangle AOC \rightarrow[/tex] Косинусова теорема: [tex]AC^{2}=AO^{2}+OC^{2}-2.AO.OC.\cos{ \angle AOC} \Leftrightarrow AC^{2}=R^{2}+R^{2}-2.R.R.\left(-\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow AC^{2}=3R^{2} \Leftrightarrow AC=\sqrt{3}.R[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AC^{2}}{2}=\frac{3R^{2}}{2}[/tex]

[S.B.]

И още един начин:

Без заглавие - 2022-02-13T161216.877.png (219.5 KiB) Прегледано 340 пъти

Трапецът е равнобедрен,[tex]\Rightarrow AC = BD[/tex]
[tex]AC \cap BD = O , \angle ABO = \angle BAO = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle ABO[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle AOB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \angle AOB\Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}\sin 90 ^\circ = \frac{AC.BD}{2}[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема :
[tex]\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R \Leftrightarrow AC = 2R.\sin 60 ^\circ \Rightarrow AC = 2R. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow[/tex]
$$AC = BD = R \sqrt{3} $$
$$S_{ABCD } = \frac{ (R \sqrt{3}) ^{2 } }{2} = \frac{3}{2} R^{2 }$$