Успоредник ABCD

[Евва]

Някой запознат ли е с тази задача ?
Диагоналът АС се разделя на отсечките AM ,MN и NC от височините спуснати от върха D
съответно към АВ и ВС .
Да се намерят страните на успоредника , ако AМ=a ,MN=b и NC=c .

[svtiap]

Привет!
DE[tex]\bot[/tex]AB (E[tex]\in[/tex]AB), DF[tex]\bot[/tex]BC (F[tex]\in[/tex]BC)
Нека ME=x
=>AE=sqrt(a^2-x^2) (правоъг. [tex]\triangle[/tex]AEM)
[tex]\triangle[/tex]AME~[tex]\triangle[/tex]CMD (I пр. и Талес)
=> DM=x(b+c)/a; DC=sqrt(a^2-x^2)*(b+c)/a=AB
=>BE=sqrt(a^2-x^2)*(b+c-a)/a
Изразяваме после и AD по Питагорова за правоъг. [tex]\triangle[/tex]AED
После: [tex]\triangle[/tex]AND~[tex]\triangle[/tex]CNF (I пр. и Талес)
=>CF=sqrt(a^4-x^2*a^2+x^2(a+b+c)^2)c/[a(a+b)] (тв. (1))
Но [tex]\triangle[/tex]AED~[tex]\triangle[/tex]CFD (I пр.)
=>CF=(a^2-x^2)(b+c)/sqrt(a^4-a^2*x^2+x^2(a+b+c)^2) (тв. (2))
от тв. (1) и (2) => x=sqrt([a^3b^2+a^4b+a^3bc]/[ab^2+a^2b+c^3+2ac^2+2bc^2+b^2c+3abc+a^2c]). (x2<0 => не може!)
=>AB=CD=((b+c)sqrt(a^2-(a^4 b+a^3 b^2 +a^3 bc)/(a^2 b+a^2 c+a b^2 +3abc+2a c^2 +b^2 c+2b c^2 +c^3)))/a=sqrt((c(b+c)(a+b+c))/(a+c))
=>AD=BC=sqrt((a(a+b)(a+b+c))/(a+c))
И с това задачата е решена!

[Евва]

Благодаря за отговора . И аз получих същия .
Интересно ми е дали задачата е известна ?

[svtiap]

НПМГ сегашния 9а клас, да хаха

[Евва]

Ето и моите разсъждения .
AD=x=? AB=y=?
[tex]\triangle[/tex]AEM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCD (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{MC}[/tex] ; AE=[tex]\frac{ay}{b+c}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]NFC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AND (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{FC}{AD}[/tex]=[tex]\frac{NC}{AN}[/tex] ; FC=[tex]\frac{cx}{a+b}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]AED[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]FCD (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AE}{FC}[/tex]=[tex]\frac{AD}{CD}[/tex] ; [tex]\frac{AE}{FC}[/tex]=[tex]\frac{x}{y}[/tex] (3)

Скрит текст: покажи

Зам. (1) и (2) в (3) .

[tex]\frac{ \frac{ay}{b+c} }{ \frac{cx}{a+b} }[/tex]=[tex]\frac{x}{y}[/tex] ; [tex]x^{2 }[/tex]=[tex]\frac{a(a+b) y^{2 } }{c(b+c)}[/tex] (4)

Остана да намерим още една връзка м/у х и у , която забелязваме на чертежа в[tex]\triangle[/tex]ACD .
[tex](a+b+c)^{2 }[/tex]=[tex]x^{2 } +y^{2}[/tex]-2xy.cos[ 180[tex]^\circ[/tex]- [tex]\angle[/tex]EAD ]
[tex](a+b+c)^{2 }[/tex]=[tex]x^{2 } +y^{2}[/tex]+2xy. [tex]\frac{ \frac{ay}{b+c} }{x}[/tex]
... ... ...
[tex]x^{2 }[/tex]+[tex]\frac{ y^{2 } (b+c+2a)}{b+c}[/tex]=[tex](a+b+c)^{2 }[/tex] (5)

Скрит текст: покажи

Зам. (4) в (5) .

[tex]\frac{a(a+b) y^{2 } }{c(b+c)}[/tex]+[tex]\frac{ y^{2 }(b+c+2a)c }{c(b+c)}[/tex]=[tex](a+b+c)^{2 }[/tex]

[tex]y^{2 }[/tex]( [tex]a^{2 }[/tex]+ab+bc+[tex]c^{2 }[/tex]+2ac )=c(b+c)[tex](a+b+c)^{2 }[/tex]

y=[tex]\sqrt{ \frac{c(b+c)(a+b+c)}{a+c} }[/tex]

От (4) [tex]\Rightarrow[/tex] x=[tex]\sqrt{ \frac{a(a+b)(a+b+c)}{a+c} }[/tex]

[svtiap]

Да, и това е добро