Равнобедрен трапец 9клас

[Гост]

Около окръжност k с център O е описан равнобедрен трапец ABCD.Нека M е допирателната точка на k с бедрото BC.а)Докажете,че OM^2=BM.CM

[S.B.]

Около окръжност k с център O е описан равнобедрен трапец ABCD.Нека M е допирателната точка на k с бедрото BC.а)Докажете,че OM^2=BM.CM

Без заглавие - 2022-05-29T202438.506.png (191.75 KiB) Прегледано 1105 пъти

Центърът на вписаната окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите
[tex]\Rightarrow OB[/tex] и $OC$ са ъглополовящи съответно на [tex]\angle B[/tex] и [tex]\angle C[/tex]
[tex]\angle B + \angle C = 180 ^\circ[/tex] (Прилежащи ъгли образувани при пресичане на две успоредни прави с трета)
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = 90 ^\circ \Rightarrow \angle BOC = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle BOC[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $BC$, а [tex]OM \bot BC[/tex] е височина към нея.
Тогава от метричните свойства в правоъгълния триъгълник следва ,че
$$OM^{2 } = BM.MC$$