Ромб - Лица на равнинни фигури

[Гост]

20220610_221055.jpg (227.2 KiB) Прегледано 1122 пъти

[mail_dinko]

Диагоналът Ас в ромба се явява ъглополовяща на ъгъл 60 градуса, следователно еднаквите триъгълници са равнобедрени - тиръгълник AMD и CND
KM - Катет срещу ъгъл 30 градуса
[tex]AM^2= KM^2+\frac {a^2}{4} \Leftrightarrow AM^2= \frac {AM^2}{4}+\frac {a^2}{4} \Rightarrow AM = \frac {a}{\sqrt {3}} = DM=ND[/tex]
По кос. теор. намираме диагонала [tex]AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 cos 120 ^\circ \Leftrightarrow AC =\sqrt { 2a^2 +a ^2} = 3a^2 \Rightarrow AC = a \sqrt {3}[/tex]
[tex]MN= AC - 2 AM =a \sqrt {3} - \frac {2a}{\sqrt {3}}= \frac {a}{\sqrt {3}}[/tex]
Лицето на равнобедрения триъгълник [tex]S_{\triangle MND} = \frac {MN.DH}{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD} = 2. \frac {1}{2} .3MN. DH[/tex]
[tex]\frac {S_{\triangle MND} }{S_{ABCD} }=\frac { \frac {MN.DH}{2}}{3MN. DH}= \frac {1}{6}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2022-06-11T161533.195.png (276.37 KiB) Прегледано 1089 пъти

Още един поглед върху задачата:

Нека страната на ромба $ABCD$ е $a$,съответно [tex]AK = KD = DL = LC = \frac{a}{2}[/tex]
Диагоналите са и ъглополовящи, [tex]\angle BAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle CAD = \angle ACD = 30 ^\circ[/tex]
По условие [tex]KM \bot AD , LN \bot CD , M \in AC , N \in AC[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle CNL \rightarrow \displaystyle\frac{LC}{NC} = \cos 30 ^\circ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{2} }{NC} = \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow CN = \displaystyle \frac{a}{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\triangle LNC \cong \triangle LND[/tex] ( правоъгълни,[tex]CL = LD = \frac{a}{2} , LN[/tex] - обща)[tex]\Rightarrow \angle LDN = 30 ^\circ , DN = CN = \frac{a}{ \sqrt{3} }[/tex]
Аналогично [tex]\triangle AMK \cong \triangle DMK , \angle KDM = 30 ^\circ ,DM = \frac{a}{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MDN = 60 ^\circ , DM = DN = \frac{a}{ \sqrt{3} } \Rightarrow \triangle DMN[/tex] е равностранен със страна [tex]\frac{a}{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]S_{MND } = \displaystyle \frac{\displaystyle ( \frac{a}{ \sqrt{3} }) ^{2 } \sqrt{3} }{4} = \displaystyle \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{12}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.AD.\sin 60 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = a^{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{ S_{MND } }{ S_{ABCD } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{12} }{\displaystyle \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{2} } = \displaystyle \frac{1}{6}[/tex]