Трaпец 11 кл

[Гост]

В окръжност с радиус R е вписан трапец с остър ъгъл алфа, който се разполовява от диагонала. Намерете лицето S на трапеца.

[Wiktor]

Да помислим какво ни казва условието.

Първо - трапецът е вписан в окръжността. Т.е. той е равнобедрен. Оттам и диагоналите са равни.
Второ - щом имаме диагонали като ъглополовящи и равнобедрен трапец, то това значи, че двете бедра и малката основа са равни. Доказва се от успоредността на AB с CD, от което се получават кръстни ъгли. От тях се получава и равнобедрения [tex]\triangle ACD[/tex].
Трето - имаме четириъгълник ABCD, чиито диагонали са равни. Намираме лицето му по формулата (1)[tex]S_{ABCD} = \frac{1}{2}.BD^{2 }. sin \varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгъла между пресичането на диагоналите.


Разглеждам [tex]\triangle ABD[/tex].
[tex]\angle BAD = \alpha[/tex]
Този триъгълник също е описан около окръжността, т.е. [tex]R_{ABCD} = R_{ABD}[/tex]
Прилагам синусова теорема.

[tex]\frac{BD}{sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow BD = 2R.sin \alpha[/tex]

Разглеждам [tex]\triangle ABO[/tex]
Сбор от ъгли в триъгълник: [tex]\frac{ \alpha }{2} + \frac{ \alpha }{2} + \varphi = 180 ^\circ \Leftrightarrow \varphi = 180 - \alpha[/tex]

От (1) [tex]\Rightarrow S_{ABCD} = \frac{1}{2}. 4R^{2}. sin^{2} \alpha. sin(180- \alpha) \Leftrightarrow S_{ABCD} = 2R^{2}. sin^{3} \alpha[/tex]